((a − 2)/(a + 2) − (a + 2)/(a − 2)) ÷ (12a²/(4 − a²)) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   括弧の中を共通分母 (a+2)(a−2) でまとめる。

   $\frac{(a-2)^{2}-(a+2)^{2}}{(a+2)(a-2)}$

   分子はそれ自身が平方の差である。$A=a-2$、$B=a+2$ として $(A^{2}-B^{2})=(A-B)(A+B)$ を使えば $(-4)(2a)=-8a$ が出る。（展開しても同じで、$a^{2}-4a+4-a^{2}-4a-4=-8a$ である。）

2. 2

   括弧の中を簡潔に書く。 $(a+2)(a-2)=a^{2}-4$ なので

   $\text{括弧の中}=\frac{-8a}{a^{2}-4}$

3. 3

   割り算を逆数の掛け算に直す。

   $\frac{-8a}{a^{2}-4}\cdot\frac{4-a^{2}}{12a^{2}}$

4. 4

   4 − a² = −(a² − 4) を使って 2 次式を約分する。 符号が逆の 2 つの因数は約分されて $-1$ になる：

   $\frac{-8a}{a^{2}-4}\cdot\frac{-(a^{2}-4)}{12a^{2}}=\frac{8a}{12a^{2}}$

   この符号の反転を見落とすことが、答えが誤って負になり得る唯一の場所である。

5. 5

   残った分数を約分する。 分子と分母から $4a$ を約分する：

   $\frac{8a}{12a^{2}}=\frac{2}{3a}$

   $\boxed{\dfrac{2}{3a}}\qquad(a\neq 0,\ a\neq\pm 2)$

6. 6

   値を入れて確かめる。 $a=1$ では、括弧の中が $\tfrac{-1}{3}-\tfrac{3}{-1}=-\tfrac13+3=\tfrac83$、割る式が $\tfrac{12}{3}=4$ なので、商は $\tfrac{8}{12}=\tfrac23$ である。答えの式も $\tfrac{2}{3(1)}=\tfrac23$ ✓ を与える。