√45 − √12 − √10/√2 + 3/√3 を、a、b を有理数として a√3 + b√5 の形に簡単にし、a + b を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   根号だけの 2 項を簡単にする。 最大の平方因数をくくり出す：

   $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt5,\qquad \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3$

2. 2

   根号の商を 1 つの根号にまとめる。 $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$ を使う：

   $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt5$

   先に分母を有理化するより、こちらのほうが速い。

3. 3

   最後の項を有理化する。

   $\frac{3}{\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$

   （$\sqrt3\cdot\sqrt3=3$ なので、同じことだが $\tfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$ と見てもよい。）

4. 4

   √3 の項と √5 の項を別々に集める。 種類の違う無理数どうしはまとめられない：

   $3\sqrt5-2\sqrt3-\sqrt5+\sqrt3=(3-1)\sqrt5+(-2+1)\sqrt3=2\sqrt5-\sqrt3$

5. 5

   指定された形に合わせて足す。 $a\sqrt3+b\sqrt5$ の形に書けば $a=-1$、$b=2$ なので

   $a+b=-1+2=1$

   $\boxed{a+b=1}$

6. 6

   数値で検算する。 $\sqrt{45}=6.7082$、$\sqrt{12}=3.4641$、$\tfrac{\sqrt{10}}{\sqrt2}=2.2361$、$\tfrac{3}{\sqrt3}=1.7321$ である。和は $6.7082-3.4641-2.2361+1.7321=2.7401$ となり、$2\sqrt5-\sqrt3=4.4721-1.7321=2.7401$ ✓。