−√12/2 − √27/9 + √75/15 + √108 = k√3 を満たす有理数 k を求めよ。

Step-by-step solution

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   どの根号も √3 の何倍かに直す。 どの根号の中身も $3$ と平方数の積なので、4 つの項はすべて通約できる。和が $k\sqrt3$ の形に書けるのは、まさにそのためである：

   $\sqrt{12}=2\sqrt3,\quad \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt{108}=6\sqrt3$

2. 2

   式に代入する。

   $-\frac{2\sqrt3}{2}-\frac{3\sqrt3}{9}+\frac{5\sqrt3}{15}+6\sqrt3$

3. 3

   各項の係数を簡単にする。

   $-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{3}+6\sqrt3$

   中央の 2 項はちょうど互いに符号違いなので打ち消し合う。これは問題に仕込まれた仕掛けであり、通分の前にまず簡単にせよという有益な教訓でもある。

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   残った項をまとめる。

   $(-1+6)\sqrt3=5\sqrt3$

5. 5

   k を読み取る。

   $\boxed{k=5}$

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   数値で検算する。 $\sqrt3\approx 1.7320508$ とすると $-\tfrac{3.4641}{2}=-1.7321$、$-\tfrac{5.1962}{9}=-0.5774$、$+\tfrac{8.6603}{15}=+0.5774$、$+10.3923$ である。和は $8.6603=5\sqrt3$ となる ✓。