式 5√9 − √(−64) を簡単にせよ。答えは複素数の形で書け。

Step-by-step solution

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   実数の根号と虚数の根号を分けて考える。 $\sqrt{9}$ はふつうの実数の平方根だが、$\sqrt{-64}$ は根号の中が負であり、実数の値をまったくもたない。この 2 つを同じように扱ってしまうことがこの問題の落とし穴なので、1 つずつ処理する。

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   実数のほうを計算する。 $9$ の主平方根は $3$ である（$\pm 3$ ではない。根号の記号は非負のほうの根を表す）。よって

   $5\sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15$

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   負の根号を $i$ を使って書き直す。 $a>0$ に対する $\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$ を用いて $-1$ をくくり出す：

   $\sqrt{-64} = \sqrt{64 \cdot (-1)} = \sqrt{64}\,\sqrt{-1} = 8i$

   $\sqrt{-64} = -8$ と書くのが典型的な誤りである。$(-8)^2 = +64$ であって $-64$ ではない。

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   実部と虚部を分けたまま引き算する。 実数の項は実数の項と、虚数の項は虚数の項とだけまとまる。$15$ と $8i$ は同類ではないので、何もまとまらない：

   $15 - 8i$

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   答えを確かめる。 $a + bi$ の形で見ると $a = 15$、$b = -8$ である。虚部を 2 乗して戻すと $(8i)^2 = 64i^2 = -64$ ✓ となり、$\sqrt{-64} = 8i$ が確かめられる。したがって最終的な値は $15 - 8i$ である。よくある誤答 $15 - 8$ は、実数 $7$ に潰れてしまう。