式 (9 + 2i)(9 − 2i) を簡単にせよ。答えは複素数の形で書け。

Step-by-step solution

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   この 2 つが共役複素数であることを見抜く。 2 つの因子は虚部の符号だけが異なるので、互いに共役である：$z = 9 + 2i$ と $\bar z = 9 - 2i$。この形に気づく価値は高い。答えが必ず実数になることが保証され、近道も使えるからである。

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   和と差の積の公式を使う。 $a = 9$、$b = 2i$ として $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を使うと：

   $(9+2i)(9-2i) = 9^2 - (2i)^2 = 81 - 4i^2$

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   $i^2 = -1$ を適用する。 符号が反転するのはこの手順であり、これを飛ばすと誤答 $77$ が出る：

   $81 - 4(-1) = 81 + 4 = 85$

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   項ごとに展開して検証する。 近道を使わずに FOIL で展開すると：

   $81 - 18i + 18i - 4i^2 = 81 + 0i + 4 = 85$

   真ん中の $-18i$ と $+18i$ は打ち消し合う——この打ち消しこそ、共役どうしの積が必ず実数になる理由である。

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   答えを複素数として読み取る。 $85 = 85 + 0i$ であり、虚部は零である。一般に $z\bar z = |z|^2$ が成り立ち、ここでは $|z|^2 = 9^2 + 2^2 = 81 + 4 = 85$ ✓ で、3 つ目の独立した裏づけになる。