オイラーの公式を使って a e⁻⁴ⁱ + b e⁴ⁱ を三角関数の形に簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   オイラーの公式を書き、$4$ の単位がラジアンであることに注意する。

   $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

   ここで $\theta=\pm4$ ラジアンであり、これは変数ではなく決まった数なので、$\cos 4$ と $\sin 4$ は単なる定数である（$\cos4=-0.6536$、$\sin4=-0.7568$）。

2. 2

   それぞれの指数関数を展開する。 $\cos(-\theta)=\cos\theta$ と $\sin(-\theta)=-\sin\theta$ を使うと

   $e^{-4i}=\cos 4-i\sin 4,\qquad e^{4i}=\cos 4+i\sin 4$

   2 つは余弦が共通で正弦だけが逆符号である。この非対称性が、下に出てくる $b-a$ を生む。

3. 3

   代入して係数を分配する。

   $a\,e^{-4i}+b\,e^{4i}=a(\cos 4-i\sin 4)+b(\cos 4+i\sin 4)$

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   実部と虚部に整理する。 $\cos 4$ の項と $\sin 4$ の項を別々にまとめると

   $=(a+b)\cos 4+i\,(b-a)\sin 4$

   実部は和 $a+b$ を、虚部は差 $b-a$ を担う。順序に注意すること。$b$ から $a$ を引くのである。

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   2 つの特別な場合で確かめる。 $b=a$ なら虚部が消えて結果は $2a\cos4$ となり、$a(e^{4i}+e^{-4i})=2a\cos4$ と一致する ✓。$b=-a$ なら実部が消えて $-2ai\sin4$ となり、$a(e^{-4i}-e^{4i})=-2ai\sin4$ と一致する ✓。

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   数値で検算する。 $a=1.3$、$b=-0.7$ とすると、直接計算では $-0.392186+1.513605i$ となる。一方 $(a+b)\cos4+i(b-a)\sin4=0.6(-0.65364)+i(-2)(-0.75680)=-0.392186+1.513605i$ ✓。