平面上で不等式 x² + y² ≤ 9 と y ≤ x + 1 を同時に満たす領域を記述して図示せよ。境界の直線が円と交わる点も求めること。

Step-by-step solution

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   1 つ目の不等式を「塗りつぶされた円板」と読む。 方程式 $x^{2}+y^{2}=9$ は原点を中心とする半径 $\sqrt{9}=3$ の円である。不等号が $\leq$ なので、領域は円とその内部をあわせたもの、すなわち閉円板になる。境界を含むことを示すため、円は実線で描く。

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   2 つ目の不等式を「閉半平面」と読む。 境界 $y=x+1$ は傾き $1$ で $(0,1)$ と $(-1,0)$ を通る直線である。$y\leq x+1$ なので直線の下側を残す。原点で試すと $0\leq 0+1$ は真なので、$(0,0)$ を含むほうの半平面が正しい。この直線も実線で描く。

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   境界の直線が円を切る位置を求める。 $y=x+1$ を $x^{2}+y^{2}=9$ に代入する：

   $x^{2}+(x+1)^{2}=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x+1=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x-8=0\ \Longrightarrow\ x^{2}+x-4=0$

   解の公式より

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$

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   2 つの交点に直す。 各解に $y=x+1$ を使うと

   $\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\ \frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\quad\text{と}\quad\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)$

   数値ではおよそ $(1.5616,\,2.5616)$ と $(-2.5616,\,-1.5616)$ である。どちらを $x^{2}+y^{2}$ に代入してもちょうど $9.0$ になるので、両方とも確かに円上にある。判別式が $17>0$ なので、この直線は接線ではなく本物の割線である。

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   得られる領域を述べる。 答えは閉円板の大きいほうの部分である。すなわち、半径 $3$ の円の内部または周上にあり、かつ直線 $y=x+1$ 上またはその下側にある点の全体である。2 つの交点を結ぶ弦は、直線より上にある小さな弓形を切り落とす。円板から除かれるのはその弓形だけである。境界の 2 つの部分、すなわち円弧と弦はどちらも領域に属する。2 つの不等式がいずれも等号を含むからである。