(√2 + √3 + √5)² を展開して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   3 項の平方の公式を使う。 任意の $a,b,c$ について

   $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

   が成り立つ。交差項は 1 つではなく3 つある。1 組を忘れるのが 3 項の平方での定番の誤りである。

2. 2

   各項を 2 乗する。 平方根を 2 乗すると根号は完全に消える。

   $\left(\sqrt2\right)^{2}+\left(\sqrt3\right)^{2}+\left(\sqrt5\right)^{2}=2+3+5=10$

3. 3

   3 つの交差項を作る。 それぞれ 2 つずつの積の 2 倍であり、$\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ を使う。

   $2\sqrt2\sqrt3=2\sqrt6,\qquad 2\sqrt3\sqrt5=2\sqrt{15},\qquad 2\sqrt5\sqrt2=2\sqrt{10}$

4. 4

   すべてを足す。 $6$、$10$、$15$ はどれも平方因数を持たず互いに異なるので、$\sqrt6$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{15}$ はこれ以上簡単にならず、互いにまとめることもできない。

   $\boxed{10+2\sqrt6+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}$

5. 5

   数値で確かめる。 $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5=1.41421+1.73205+2.23607=5.38233$ であり、$5.38233^{2}=28.9695$ となる。答えのほうは $10+2(2.44949)+2(3.16228)+2(3.87298)=10+4.89898+6.32456+7.74597=28.9695$ ✓。