2 つの数 x と y について、x の 4% と y の 5% の和が、x の 5% と y の 8% の和の 3 分の 2 に等しい。比 x : y を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   言葉を記号に直す。 「$p\%$ の $x$」とは $\tfrac{p}{100}x$ のことなので、この文は

   $\frac{4}{100}x+\frac{5}{100}y=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{100}x+\frac{8}{100}y\right)$

   になる。未知数 2 つに式 1 つでは $x$ と $y$ を個別に決めることはできないが、比のほうは決められる。そしてまさにそれが問われている。

2. 2

   100 分の 1 を払う。 どの項にも $\tfrac{1}{100}$ が掛かっているので、両辺を $100$ 倍すればきれいに消える。

   $4x+5y=\frac{2}{3}(5x+8y)$

3. 3

   分数を払う。 両辺を $3$ 倍する。

   $3(4x+5y)=2(5x+8y)\quad\Longrightarrow\quad 12x+15y=10x+16y$

4. 4

   変数を左右に振り分ける。

   $12x-10x=16y-15y\quad\Longrightarrow\quad 2x=y$

5. 5

   比に直す。 $2x=y$ から

   $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad x:y=1:2$

   $\boxed{1:2}$

6. 6

   実際の数で確かめる。 $x=1$、$y=2$ とすると左辺は $0.04(1)+0.05(2)=0.14$、右辺は $\tfrac23\big(0.05(1)+0.08(2)\big)=\tfrac23(0.21)=0.14$ である。$x=50$、$y=100$ のように比が $1:2$ である組はどれでも同じように成り立つ。この方程式は同次なので、効いてくるのは比だけである。