√(x² − 6x + 1) = 5 − 2x を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   解が満たすべき 2 つの条件を述べる。 右辺は 0 以上でなければならないので $5-2x\ge0$、すなわち $x\le\tfrac52$。根号の中身も 0 以上でなければならないので $x^2-6x+1\ge0$、すなわち $x\le 3-2\sqrt2$ または $x\ge 3+2\sqrt2$。どちらも必要なので、候補は $x \le 3-2\sqrt2 \approx 0.1716$ を満たさねばならない。

2. 2

   両辺を 2 乗する。 $x^2-6x+1 = (5-2x)^2 = 25-20x+4x^2.$

3. 3

   標準形にまとめる。 すべてを片側に移すと $0 = 25-20x+4x^2-x^2+6x-1 = 3x^2-14x+24.$

4. 4

   判別式を計算する。 $\Delta = (-14)^2-4(3)(24) = 196-288 = -92 < 0.$ 判別式が負ということは、この二次方程式には実数解がまったくないということである。

5. 5

   結論する。 2 乗した方程式にすら実数解がないのだから、もとの無理方程式には実数解が存在しない。定義域の条件に照らして調べるべきものは何も残っていない。

6. 6

   値を入れて感覚を確かめる。 $x=0$（これは 2 つの定義域条件をどちらも満たす）では左辺が $\sqrt{1}=1$、右辺が $5$ である。$x$ が小さくなるにつれて右辺は根号より速く増えるので、2 つの曲線は決して交わらない。