x = 2 が (x² − 4x + 5)(2x² − 8x + 9) = 1 の解であること、および他に解がないことを証明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   x = 2 を直接確かめる。

   $4-8+5=1,\qquad 8-16+9=1$

   なので、積は $1\cdot 1=1$ ✓ である。

2. 2

   第 1 因子を平方完成する。 どちらの因子も頂点が同じ $x=2$ にあり、それがこの議論を成り立たせている：

   $x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1$

3. 3

   第 2 因子を平方完成する。

   $2x^{2}-8x+9=2\left(x^{2}-4x\right)+9=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+9=2(x-2)^{2}+1$

4. 4

   両方の因子を 1 で下から抑える。 すべての実数 $x$ について $(x-2)^{2}\ge 0$ なので、

   $x^{2}-4x+5\ge 1,\qquad 2x^{2}-8x+9\ge 1$

   であり、どちらの等号も $x=2$ のときだけ成り立つ。

5. 5

   積についての議論で仕上げる。 どちらも $\ge 1$ である 2 つの実数の積は $\ge 1$ であり、$1$ に等しくなるのは両方が $1$ に等しいときだけである。したがってこの方程式は $(x-2)^{2}=0$ を強いる：

   $\boxed{x=2\text{ が唯一の実数解}}$

6. 6

   置換して検証する。 $u=(x-2)^{2}\ge 0$ と置く。方程式は $(u+1)(2u+1)=1$、すなわち $2u^{2}+3u=0$、すなわち $u(2u+3)=0$ になる。許されるのは $u=0$ だけで、$x=2$ が得られる ✓。数値では、$x=3$ で左辺は $(2)(3)=6>1$、$x=1$ でも $(2)(3)=6>1$ となり、最小が $x=2$ にあることが確かめられる。