x = 1 が (2x² − 4x + 3)(x² − 2x + 2) = 1 の解であること、およびこの方程式に他の解がないことを証明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   与えられた解を代入して確かめる。 $x=1$ では

   $2(1)-4(1)+3=1,\qquad 1-2(1)+2=1$

   なので、左辺は $1\cdot 1=1$ ✓ である。これで存在は片づいた。本題は唯一性である。

2. 2

   第 1 因子を平方完成する。 各因子を下から評価するのが鍵となる着想である。どちらも $1$ 以上の 2 つの量の積が $1$ に等しくなるのは、両方がちょうど $1$ のときだけだからである：

   $2x^{2}-4x+3=2\left(x^{2}-2x\right)+3=2\left[(x-1)^{2}-1\right]+3=2(x-1)^{2}+1$

3. 3

   第 2 因子を平方完成する。

   $x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$

   これで両方の因子が「非負の平方に $1$ を足したもの」の形になったことが目に見える。

4. 4

   各因子を下から評価する。 どの実数 $x$ に対しても $(x-1)^{2}\ge 0$ なので、

   $2x^{2}-4x+3\ge 1\qquad\text{かつ}\qquad x^{2}-2x+2\ge 1$

   であり、どちらの等号も $x=1$ のときに限って成り立つ。

5. 5

   積についての議論で結論づける。 どちらも $\ge 1$ である 2 数を掛けると結果は $\ge 1$ になり、積が $1$ に等しくなるのは両方の因子が $1$ に等しいときだけである。したがって

   $\left[2(x-1)^{2}+1\right]\left[(x-1)^{2}+1\right]=1\ \Longleftrightarrow\ (x-1)^{2}=0\ \Longleftrightarrow\ x=1$

   $\boxed{x=1\text{ が唯一の実数解}}$

6. 6

   展開による交差検証。 $u=(x-1)^{2}\ge 0$ と置くと、方程式は $(2u+1)(u+1)=1$、すなわち $2u^{2}+3u=0$、すなわち $u(2u+3)=0$ になる。解は $u=0$ と $u=-\tfrac32$ であり、後者は平方の値としてあり得ないので $u=0$、したがって $x=1$ が残る ✓ ——代数的に得た結論と同じである。