行が (1, 3, 2), (2, −1, −3), (1, 1, 0) の行列 A と、行が (−3, 2, 4), (1, 0, 2), (0, 2, 3) の行列 B について、積 AB を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   型を確認し、規則を押さえる。 $A$ は $3\times 3$、$B$ も $3\times 3$ なので内側の次元が一致し、$AB$ は $3\times 3$ になる。第 $i$ 行第 $j$ 列の成分は、$A$ の第 $i$ 行と $B$ の第 $j$ 列の内積である：

   $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{kj}.$

   同じ位置の成分どうしを掛けるのが定番の誤りである。それは行列の積ではない。

2. 2

   積の第 1 行を計算する。 $A$ の第 $1$ 行は $(1,3,2)$ である：

   $(1)(-3)+(3)(1)+(2)(0)=0,$
   $(1)(2)+(3)(0)+(2)(2)=6,$
   $(1)(4)+(3)(2)+(2)(3)=16.$

3. 3

   第 2 行を計算する。 $A$ の第 $2$ 行は $(2,-1,-3)$ である：

   $(2)(-3)+(-1)(1)+(-3)(0)=-7,$
   $(2)(2)+(-1)(0)+(-3)(2)=-2,$
   $(2)(4)+(-1)(2)+(-3)(3)=-3.$

4. 4

   第 3 行を計算する。 $A$ の第 $3$ 行は $(1,1,0)$ なので、$B$ の第 3 行は寄与しない：

   $(1)(-3)+(1)(1)+(0)(0)=-2,$
   $(1)(2)+(1)(0)+(0)(2)=2,$
   $(1)(4)+(1)(2)+(0)(3)=6.$

5. 5

   積を組み立てる。

   $AB=\begin{pmatrix}0&6&16\\ -7&-2&-3\\ -2&2&6\end{pmatrix}.$

6. 6

   列ベクトルで抜き取り検査する。 $B$ に $(1,0,0)^{T}$ を掛けると第 1 列 $(-3,1,0)^{T}$ が取り出される。次に $A(-3,1,0)^{T}=(-3+3+0,\ -6-1+0,\ -3+1+0)^{T}=(0,-7,-2)^{T}$ となり、これはまさに $AB$ の第 1 列である ✓。行列の積が交換可能でないこと、すなわち $BA$ は別の行列になることも忘れてはならない。