比 x : 45 と比 20 : x が等しくなるような x の正の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両方の比を分数で書く。 比が等しいとは、分数が等しいということである：

   $\frac{x}{45}=\frac{20}{x}.$

2. 2

   たすき掛けする。 未知数が両辺に現れるので、1 手で終わる問題ではなく 2 次の問題になる：

   $x\cdot x=45\cdot 20\ \Longrightarrow\ x^{2}=900.$

3. 3

   平方根をとり、正のほうを選ぶ。

   $x=\pm 30,$

   であり、問題は正の値を求めているので $x=30$ である。（$-30$ は式のうえでは成り立つが、比として意味をなさない。）

4. 4

   構造を見抜く。 $x^{2}=45\times 20$ は、$x$ が外側の 2 項の相乗平均であることを述べている。ある量が一方の比の後項であり、それと等しい比の前項でもあるとき、その量はつねに残り 2 つの相乗平均である。気づく価値がある。掛け算 1 回と平方根 1 回に問題が変わるからである。

5. 5

   どちらの比も同じものに約せることを確かめる。

   $30:45=2:3\qquad\text{かつ}\qquad 20:30=2:3\ \checkmark$

   一致するので $x=30$ が確かめられた。