ある劇場では大人券と子ども券が 9 : 4 の比で売れていた。公演当日に大人券が 20 枚多く売れ、子ども券は 1 枚も売れなかったところ、比は 8 : 3 になった。前日までに売れていた枚数はそれぞれ何枚か。また大人券は合計で何枚売れたか。

Step-by-step solution

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   最初の比を、未知数 1 つの式に直す。 比が定めるのは割合だけなので、倍率 $k$ を導入する：

   $\text{大人}=9k,\qquad \text{子ども}=4k.$

   未知数を 2 つ別々に置くと連立が決まらない。倍率こそが、方程式 1 本で足りるようにしてくれる仕掛けである。

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   追加販売のあとの状況を書く。 変わるのは大人の枚数だけである：

   $\text{大人}=9k+20,\qquad \text{子ども}=4k.$

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   新しい比が 8 : 3 であることを式にする。

   $\frac{9k+20}{4k}=\frac{8}{3}.$

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   たすきに掛けて k を求める。

   $3(9k+20)=8(4k)\ \Longrightarrow\ 27k+60=32k\ \Longrightarrow\ 5k=60\ \Longrightarrow\ k=12.$

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   実際の枚数に戻す。

   $\text{前日までの大人}=9(12)=108,\qquad \text{子ども}=4(12)=48,$
   $\text{当日を終えた大人}=108+20=128.$

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   2 つの比を確かめる。 前：$108:48$ で、どちらも $12$ で割ると $9:4$ ✓。後：$128:48$ で、どちらも $16$ で割ると $8:3$ ✓。大人の占める割合は全体の $\tfrac{9}{13}$ から $\tfrac{8}{11}$ に上がっており、大人券だけを追加したことと整合する。