指示どおりに掛けて簡単にせよ：(x² − 14x + 48)/(x² − 3x − 18) × (x² − 9)/(x² − 64)。

Step-by-step solution

1. 1

   何かを掛ける前に、まずすべてを因数分解する。 先に分子と分母を展開すると 4 次式が出てきて、約分がすべて隠れてしまう。4 つの 2 次式はどれも整数の範囲で因数分解できるので、因数分解は可能であるだけでなく、この問題の要点そのものである。

2. 2

   4 つの 2 次式を因数分解する。

   $x^2-14x+48 = (x-6)(x-8), \qquad x^2-3x-18 = (x-6)(x+3)$

   $x^2-9 = (x-3)(x+3), \qquad x^2-64 = (x-8)(x+8)$

   後ろの 2 つは平方の差である。前の 2 つは、掛けて $48$、$-18$ になり、足して $-14$、$-3$ になる組を探す。

3. 3

   積を 1 つの分数として書く。

   $\frac{(x-6)(x-8)\,(x-3)(x+3)}{(x-6)(x+3)\,(x-8)(x+8)}$

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   そろっているのは因数であって項ではない、と意識して約分する。 分子と分母に共通して現れる因数は 3 つある：$(x-6)$、$(x-8)$、$(x+3)$。これらを約分すると

   $\frac{x-3}{x+8}$

   が残る。やってはいけないのは、$\dfrac{x-3}{x+8}$ の中の裸の $x$ や $3$ を約分することである。約分が消せるのは積の中の同一の因数だけであって、和の一部ではない。

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   除外される値に注意する。 約分すると、もとの式が持っていた制限が見えなくなる。定義域からは $x = 6$、$x = -3$、$x = 8$、$x = -8$ が除かれる。簡約した形がもとの式と等しいのは、もとの式が定義される範囲においてだけである。

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   値を代入して検証する。 $x = 1$ とする。もとの式：$\dfrac{1-14+48}{1-3-18} \cdot \dfrac{1-9}{1-64} = \dfrac{35}{-20} \cdot \dfrac{-8}{-63} = -\dfrac{2}{9}$。簡約した式：$\dfrac{1-3}{1+8} = -\dfrac{2}{9}$ ✓。