(9a² − 4)/(2 − 3a) − (6a² − 5a − 6)/(3 − 2a) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   方針を立てる。共通分母を作る前に、すべてを因数分解する。 どちらの分母も、分子に現れることになる因数に対して「逆向き」に書かれており、その逆転はちょうど $-1$ の因数に相当する。先にこれを見抜いておけば、面倒な通分の計算を避けられる。

2. 2

   1 つ目の分数を因数分解して約分する。 $9a^2-4 = (3a)^2-2^2 = (3a-2)(3a+2)$ であり、一方 $2-3a = -(3a-2)$ である。対応する因数を約分すると： $\frac{(3a-2)(3a+2)}{-(3a-2)} = -(3a+2) = -3a-2, \qquad a \neq \tfrac23.$

3. 3

   2 つ目の分子を因数分解する。 $6a^2-5a-6$ については、積が $6(-6) = -36$、和が $-5$ になる整数を探す：それは $4$ と $-9$ である。分けて組にすると $6a^2+4a-9a-6 = 2a(3a+2)-3(3a+2) = (3a+2)(2a-3)$ となる。

4. 4

   2 つ目の分数を約分する。 $3-2a = -(2a-3)$ なので、 $\frac{(3a+2)(2a-3)}{-(2a-3)} = -(3a+2) = -3a-2, \qquad a \neq \tfrac32.$ どちらの分数も同じ式に約分された。

5. 5

   引く。 $(-3a-2)-(-3a-2) = -3a-2+3a+2 = 0.$ この式は、定義されるところではどこでも恒等的にゼロである。

6. 6

   除外すべき値を書き留め、抜き取り検算する。 もとの式は $a=\tfrac23$ と $a=\tfrac32$ では定義されない。$a=0.3$、$1.7$、$-2$、$5$ を代入するとすべて完全な精度で $0$ になり、恒等式であることが裏づけられる。