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Algebra · real student question

Z1 の共役と Z2 の逆数の積が 2、かつ (1 − i)(Z1 の共役 + 3) = 4 Z2 を満たす複素数 Z1, Z2 について、(Z2 × Z1 の 3 乗) ÷ (−Z2) の絶対値を求めよ。

Question

複素数 Z1Z_1、Z2Z_2 が Z1‾⋅Z2−1=2\overline{Z_1}\cdot Z_2^{-1}=2 と (1−i)(Z1‾+3)=4Z2(1-i)\left(\overline{Z_1}+3\right)=4Z_2 を満たすとする。∣Z2⋅Z13−Z2∣.\left|\frac{Z_2\cdot Z_1^{3}}{-Z_2}\right|. を求めよ。

Step-by-step solution

  1. まず目標の式を簡単にする。 逆数をもつので Z2≠0Z_2\ne 0 であり、Z2Z_2 の因子は約分される：Z2Z13−Z2=−Z13,∣−Z13∣=∣−1∣ ∣Z1∣3=∣Z1∣3.\frac{Z_2Z_1^{3}}{-Z_2}=-Z_1^{3},\qquad\left|-Z_1^{3}\right|=|-1|\,|Z_1|^{3}=|Z_1|^{3}. したがって必要なのは Z1Z_1 の絶対値だけで、Z2Z_2 を極形式で求める必要はまったくない。

  2. 第 1 式で Z2Z_2 を消去する。 Z1‾Z2=2\dfrac{\overline{Z_1}}{Z_2}=2 より Z1‾=2Z2\overline{Z_1}=2Z_2、すなわち Z2=Z1‾2Z_2=\dfrac{\overline{Z_1}}{2} である。

  3. 第 2 式に代入する。 w=Z1‾w=\overline{Z_1} と書くと、(1−i)(w+3)=4⋅w2=2w ⟹ (1−i)w+3−3i=2w.(1-i)(w+3)=4\cdot\frac{w}{2}=2w\ \Longrightarrow\ (1-i)w+3-3i=2w.

  4. ww について 1 次方程式を解く。 ww をまとめると 3−3i=(2−(1−i))w=(1+i)w3-3i=\bigl(2-(1-i)\bigr)w=(1+i)w となるので、w=3−3i1+i=3(1−i)2(1+i)(1−i)=3(−2i)2=−3i.w=\frac{3-3i}{1+i}=\frac{3(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{3(-2i)}{2}=-3i.

  5. Z1Z_1 を復元し、与件を確認する。 Z1‾=−3i\overline{Z_1}=-3i より Z1=3iZ_1=3i、Z2=−3i2Z_2=-\tfrac{3i}{2} である。確認：Z1‾/Z2=(−3i)/(−1.5i)=2\overline{Z_1}/Z_2=(-3i)/(-1.5i)=2、また (1−i)(−3i+3)=3(1−i)2=−6i=4(−1.5i)(1-i)(-3i+3)=3(1-i)^2=-6i=4(-1.5i)。どちらの式も成り立つ。

  6. 絶対値をとる。 ∣Z1∣=∣3i∣=3|Z_1|=|3i|=3 なので、答えは ∣Z1∣3=33=27|Z_1|^{3}=3^{3}=27 である。

Answer

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