a > 0, b > 0, 2a + b = 1 のとき、a/(2 − 2a) + b/(2 − b) の最小値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1 変数に落とし、定義域を確定する。 条件から $b=1-2a$ であり、$a>0,\ b>0$ より

   $0<a<\tfrac12$

   が要求される。この区間では $2-2a\in(1,2)$、$2-b=1+2a\in(1,2)$ なので分母はどちらも正のままで、$T$ は連続である。代入すると、

   $T(a)=\frac{a}{2(1-a)}+\frac{1-2a}{1+2a}$

2. 2

   各項を別々に微分する。 第 1 項では商の微分法により分子が $1\cdot 2(1-a)-a\cdot(-2)=2$ となるので、

   $\frac{d}{da}\left[\frac{a}{2(1-a)}\right]=\frac{2}{4(1-a)^2}=\frac{1}{2(1-a)^2}$

   第 2 項では分子が $(-2)(1+2a)-(1-2a)(2)=-4$ なので、

   $\frac{d}{da}\left[\frac{1-2a}{1+2a}\right]=\frac{-4}{(1+2a)^2}$

   第 1 項は増加、第 2 項は減少であり、これこそ内部に最小値が存在する理由である。

3. 3

   微分を 0 と置いて解く。

   $\frac{1}{2(1-a)^2}=\frac{4}{(1+2a)^2}\quad\Longrightarrow\quad (1+2a)^2=8(1-a)^2$

   $0<a<\frac12$ では $1+2a$ も $1-a$ も正なので、正の平方根をとってよい：

   $1+2a=2\sqrt{2}\,(1-a)\quad\Longrightarrow\quad a\left(2+2\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-1$

   $a=\frac{2\sqrt{2}-1}{2+2\sqrt{2}}=\frac{5-3\sqrt{2}}{2}\approx 0.378680$

   （最後の変形では分母分子に $\sqrt{2}-1$ を掛け、$(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=1$ を用いた。）このとき $b=1-2a=3\sqrt{2}-4\approx 0.242641>0$ なので、この臨界点は許容される。

4. 4

   各項を厳密な形で評価する。 $1-a=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}$ なので、

   $\frac{a}{2-2a}=\frac{5-3\sqrt{2}}{6(\sqrt{2}-1)}=\frac{(5-3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{6}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}$

   また $2-b=6-3\sqrt{2}$ なので、

   $\frac{b}{2-b}=\frac{3\sqrt{2}-4}{3(2-\sqrt{2})}=\frac{(3\sqrt{2}-4)(2+\sqrt{2})}{6}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$

5. 5

   足し合わせ、それが最小値であることを確かめる。

   $T_{\min}=\frac{2\sqrt{2}-1}{6}+\frac{2\sqrt{2}-2}{6}=\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.442809$

   開区間の端での様子と比べる。$a\to 0^{+}$ では $T\to 1$、$a\to\tfrac12^{-}$ では $T\to\tfrac12$ である。どちらも $0.4428$ を上回るので、内部の臨界点が大域的最小値である。

6. 6

   引っかかりやすい 2 つの誤答に注意する。 対称に見える $a=b=\frac13$ を代入すると $\frac14+\frac15=\frac{9}{20}=0.45$ となり、惜しいが最小ではない——$a=b$ は重み付きの条件を釣り合った形では満たさないからである。また $\frac15=0.2$ という値はここではあり得ない。$0<a<\frac12$ の全域で $T$ は $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}\approx 0.4428$ を下回らないからである。厳密な最小値は $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}$ である。