不等式 log の底 5 の (x − 3√x + 32) < 2 × log の底 5 の (√x + 2) を解き、最小の正の整数解を答えよ。選択肢：17, 25, 16, 20。

Step-by-step solution

1. 1

   対数は定義域を制限するので、まず定義域を確定する。 $\sqrt{x}$ があるだけで $x\geq 0$ が要求される。左の対数には $x-3\sqrt{x}+32>0$ が必要で、$t=\sqrt{x}\geq 0$ と置くとこれは $t^{2}-3t+32>0$ になる。その判別式は

   $D=(-3)^{2}-4(1)(32)=9-128=-119<0$

   である。判別式が負で最高次の係数が正なので、$t^{2}-3t+32$ はすべての $t$ に対して正であり、新しい制約は生じない。右の対数には $\sqrt{x}+2>0$ が必要だが、これは自動的に満たされる。したがって定義域はちょうど $x\geq 0$ である。

2. 2

   係数 $2$ を対数の中に折り込む。 $\sqrt{x}+2>0$ なので $k\log_{b}u=\log_{b}u^{k}$ が使える：

   $2\log_{5}\left(\sqrt{x}+2\right)=\log_{5}\left(\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}\right)$

   これで両辺とも底 $5$ の対数 1 つになった。

3. 3

   正しい向きで対数を外す。 底が $5>1$ なので $\log_{5}$ は狭義単調増加であり、対数どうしの不等式は真数どうしの同じ向きの不等式と同値である——符号は反転しない：

   $x-3\sqrt{x}+32<\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}$

   もし底が $0$ と $1$ の間であれば、この手順で不等号が反転していた。

4. 4

   展開して、$x$ の項が消えるのを見る。 $\left(\sqrt{x}+2\right)^{2}=x+4\sqrt{x}+4$ なので、

   $x-3\sqrt{x}+32<x+4\sqrt{x}+4$

   となる。両辺から $x$ を引くと $\sqrt{x}$ についての 2 次の部分がまるごと消え、$\sqrt{x}$ についての 1 次不等式が残る：

   $-3\sqrt{x}+32<4\sqrt{x}+4\ \Longrightarrow\ 28<7\sqrt{x}\ \Longrightarrow\ \sqrt{x}>4$

5. 5

   安全に 2 乗して定義域と共通部分をとる。 $\sqrt{x}>4$ の両辺は非負なので、2 乗しても不等式は保たれる：

   $x>16$

   これはすでに定義域 $x\geq 0$ の内側にあるので、解集合は $(16,+\infty)$ である。

6. 6

   最小の正の整数を選んで検証する。 $16$ より真に大きい最小の整数は $17$ であり、これは選択肢 1 である。境界が狭義であることは直接代入で確かめられる。$x=16$ では両辺が $\log_{5}(36)$ と $\log_{5}(36)$ で等しく、したがって解ではない。一方 $x=17$ では左辺が $\log_{5}(36.63)$、右辺が $\log_{5}(37.49)$ となり不等式は成り立つ。$x=0,1,4,9,16$ はいずれも不成立、$16.5,17,25$ はいずれも成立で、$x>16$ と一致する。