不等式 x − (1 − x)/6 ≤ (2x + 1)/2 − 3/4 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   左辺を分母 6 でまとめる。 分子にマイナスを分配するところが最も失敗しやすい：

   $x-\frac{1-x}{6}=\frac{6x-(1-x)}{6}=\frac{6x-1+x}{6}=\frac{7x-1}{6}$

2. 2

   右辺を分母 4 でまとめる。

   $\frac{2x+1}{2}-\frac{3}{4}=\frac{4x+2}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4x-1}{4}$

   これで不等式は $\dfrac{7x-1}{6}\le\dfrac{4x-1}{4}$ となった。

3. 3

   両辺に最小公倍数 12 を掛ける。 $12>0$ なので $\le$ の向きは変わらない。$-12$ のような負の数ではなく正の数で分母を払う理由がここにある：

   $2(7x-1)\le 3(4x-1)\quad\Longrightarrow\quad 14x-2\le 12x-3$

4. 4

   $x$ を孤立させる。 $12x$ を引き、$2$ を加え、正の数 $2$ で割る：

   $2x-2\le-3\quad\Longrightarrow\quad 2x\le-1\quad\Longrightarrow\quad x\le-\frac{1}{2}$

5. 5

   境界と、その両側の 1 点を厳密な分数で検算する。 $x=-\tfrac12$ では両辺とも $-\tfrac34$ に等しいので、端点は解に含まれる。$x=-1$ では両辺は $-\tfrac43$ と $-\tfrac54$ で、$-\tfrac43\le-\tfrac54$ は成り立つ。$x=-0.49$ では $-\tfrac{443}{600}$ と $-\tfrac{37}{50}=-\tfrac{444}{600}$ となり、$-\tfrac{443}{600}\le-\tfrac{444}{600}$ は偽である。したがって切れ目はまさに $-\tfrac12$ にある。

6. 6

   解集合を述べる。

   $x\in\left(-\infty,\,-\tfrac{1}{2}\right]$