不等式 −(1/3)(x − 7) ≥ (1/2)(3x + 1) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   分母を一度に払う。 分母は $3$ と $2$ なので、各項にその最小公倍数 $6$ を掛ける。$6>0$ なので不等号の向きは影響を受けない——これが分数を消す安全なやり方である：

   $6\cdot\left[-\frac13(x-7)\right]\ge6\cdot\left[\frac12(3x+1)\right]$

   $-2(x-7)\ge3(3x+1)$

2. 2

   両辺を展開する。

   $-2x+14\ge9x+3$

   $-2$ は括弧の中の両方の項に掛かるので、$-7$ が $+14$ に変わる。

3. 3

   変数を片側に集める。 両辺から $9x$ を引く（足し引きでは不等号は決して反転しない）：

   $-11x+14\ge3$

   次に $14$ を引く：

   $-11x\ge-11$

4. 4

   負の係数で割り、向きを反転させる。 両辺を $-11$ で割ると不等号が反転する：

   $x\le1$

   この 1 回の符号反転がこの問題の罠のすべてである。ここで $\ge$ のままにすれば、ちょうど逆側の半直線が出てしまう。

5. 5

   境界の両側で 1 点ずつ試す。 $x=1$ では左辺 $=-\tfrac13(-6)=2$、右辺 $=\tfrac12(4)=2$ で等号が成り立つ ✓（端点は含まれる）。$x=0$ では左辺 $=\tfrac73\approx2.33$、右辺 $=0.5$ で、$2.33\ge0.5$ は真である ✓。$x=2$ では左辺 $=\tfrac53\approx1.67$、右辺 $=3.5$ で、$1.67\ge3.5$ は偽である ✓。解集合は $(-\infty,1]$ である。