カタツムリが1本の木からもう1本の木へ這っていく。毎日、前日より決まった量だけ多く進む。初日と最終日を合わせると 10 メートル這った。木と木の距離は 150 メートルである。全行程は何日かかったか。

Step-by-step solution

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   数列を見きわめる。 「毎日同じだけ多く進む」とは、1 日ごとの距離 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ が等差数列をなすということである。総距離はこの数列の和であり、その総和は $150$ m と与えられている。

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   与えられた条件に合う和の公式を選ぶ。 標準的な公式は次の 2 つである：

   $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\qquad\text{および}\qquad S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

   問題は $a_1+a_n=10$ を直接与えているので、前者は $a_1$ も公差 $d$ もまったく知る必要がない。これほど少ない情報で解ける理由がここにある。

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   代入する。

   $150=\frac{10}{2}\cdot n=5n$

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   n について解く。

   $n=\frac{150}{5}=30$

   $\boxed{30\ \text{日}}$

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   具体的な等差数列で検算する。 $a_1+a_{30}=10$ を満たす等差数列ならどれでもよい——たとえば $a_1=1$、$a_{30}=9$ とすれば $d=\tfrac{9-1}{29}=\tfrac{8}{29}$ である。その和は $\tfrac{1+9}{2}\cdot 30=150$ m ✓ となる。1 日ごとの距離は定まらないが日数は定まる。和の公式は $a_1+a_n$ という組しか見ていないからである。