曲線 C は原点を通り、C 上のすべての点の x 座標は −1 より大きい。さらに C 上のどの点についても、F(1, 0) までの距離と直線 x = a（a < 0）までの距離の積が 1 に等しい。a を求めよ。

Step-by-step solution

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   2 つの距離を式で書く。 点 $P(x,y)$ について、

   $|PF|=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}},\qquad \operatorname{dist}(P,\ x=a)=|x-a|$

   曲線は完全にその鉛直な直線の右側にある（曲線上の点は $x>-1$ を満たし、一方 $a<0$ である）ので $x-a>0$ であり、絶対値を外せる：

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x-a)=1$

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   与えられた唯一の具体的な点を使う。 条件は $C$ のすべての点で成り立つが、実際に名前が与えられている点は原点だけである。$x=0$、$y=0$ を代入すると、関数についての条件が $a$ についての 1 つの方程式になる。これがこの問題の要点そのものである。

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   原点を代入する。

   $\sqrt{(0-1)^{2}+0^{2}}\cdot(0-a)=1\quad\Longrightarrow\quad 1\cdot(-a)=1$

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   a について解く。

   $-a=1\quad\Longrightarrow\quad a=-1$

   これは $a<0$ という要求と矛盾しない ✓。

   $\boxed{a=-1}$

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   符号の仮定が成り立つことを確かめる。 $a=-1$ のとき直線は $x=-1$ であり、問題文により $C$ 上のすべての点が $x>-1$ を満たすので、全体を通して $x-a=x+1>0$ であり、絶対値を外したのは正当であった ✓。したがって曲線の方程式は

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x+1)=1$

   であり、両辺を 2 乗すると $(x+1)^{2}\left[(x-1)^{2}+y^{2}\right]=1$ となる。

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   原点がその曲線上にあることを確かめる。 $(0,0)$ では $(1)^{2}\left[1+0\right]=1$ ✓ となるので、導いた方程式は確かに $O$ を通り、$a$ の値が裏づけられる。