式 (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ − 82 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   中点で置き換えて式を対称にする。 2 つの底 $x+1$ と $x+3$ は $x+2$ を中心に並んでいるので、$y=x+2$ と置けばそれぞれ $y-1$ と $y+1$ になる。$x$ のまま展開しても煩雑な 4 次式が出るだけで、奇数次が消えるのはこの置き方のおかげである：

   $(y-1)^4+(y+1)^4-82$

2. 2

   展開して、奇数次が消えるのを見る。

   $(y-1)^4=y^4-4y^3+6y^2-4y+1,\qquad (y+1)^4=y^4+4y^3+6y^2+4y+1$

   $(y-1)^4+(y+1)^4=2y^4+12y^2+2$

   したがって式は $2y^4+12y^2+2-82=2y^4+12y^2-80=2\left(y^4+6y^2-40\right)$ になる。

3. 3

   括弧の中を $t=y^2$ の 2 次式として扱う。 $t=y^2$ とすると

   $t^2+6t-40=(t+10)(t-4)$

   $10\cdot(-4)=-40$ かつ $10+(-4)=6$ だからである。$y$ に戻すと $\left(y^2+10\right)\left(y^2-4\right)$ となる。

4. 4

   平方の差を分解し、既約な部分で止める。 $y^2-4=(y-2)(y+2)$ であり、$y^2+10$ は実数解を持たないのでそのまま残る：

   $2\left(y^2+10\right)(y-2)(y+2)$

5. 5

   $y=x+2$ を戻す。 $y-2=x$、$y+2=x+4$、$y^2+10=(x+2)^2+10=x^2+4x+14$ なので：

   $2x(x+4)\left(x^2+4x+14\right)$

6. 6

   いくつかの整数で両方の式の値を比べて検算する。 $x=-8,\dots,8$ で調べると、もとの $(x+1)^4+(x+3)^4-82$ と $2x(x+4)(x^2+4x+14)$ はその $17$ 点すべてで一致する——4 次式を決めるのに必要な $5$ 点をはるかに超えているので、この因数分解は厳密に正しい。