z = 2 + i、u = 3 − 2i、v = −1/2 − (√3)/2 i のとき、z² − 3u³ + 2v を計算し、a + bi の形で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   z を 2 乗する。 $i^{2}=-1$ に注意して $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ を使う。

   $z^{2}=(2+i)^{2}=4+4i+i^{2}=4+4i-1=3+4i.$

2. 2

   u の 3 乗を 2 段階で求める。 まず 2 乗する。

   $u^{2}=(3-2i)^{2}=9-12i+4i^{2}=9-12i-4=5-12i.$

   次にもう一度 $u$ を掛ける。

   $u^{3}=(5-12i)(3-2i)=15-10i-36i+24i^{2}=15-46i-24=-9-46i.$

   2 乗してから掛けるほうが、3 乗の展開を一気にやるよりはるかに間違いにくい。

3. 3

   係数を掛ける。 $-3$ を両方の部分に配る。

   $-3u^{3}=-3(-9-46i)=27+138i.$

   また

   $2v=2\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}\,i.$

4. 4

   実部どうしを足す。

   $3+27-1=29.$

5. 5

   虚部どうしを足す。 一方に無理数が含まれるので、1 つの小数にまとめることはできない。

   $4+138-\sqrt{3}=142-\sqrt{3}.$

6. 6

   答えを書き、大きさを確かめる。

   $z^{2}-3u^{3}+2v=29+\left(142-\sqrt{3}\right)i\approx 29+140.268\,i.$

   $u^3$ の項が支配的であり、これは予想どおりである。$|u|=\sqrt{13}$ なので $|u^{3}|=13\sqrt{13}\approx 46.9$、$|-3u^3|\approx 140.6$ となり、$|z^2|=5$ や $|2v|=2$ よりはるかに大きい。ちなみに $v$ は絶対値 $1$、偏角 $-\tfrac{2\pi}{3}$ なので、1 の原始 3 乗根である。