x − 4y = 5 のとき、C = x² − 8xy + 16y² の値を求めよ。

Step-by-step solution

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   与えられた条件だけでは x と y が別々に決まらないことに気づく。 未知数 2 つに対して式が 1 つなので解は無数にある。したがって、式を $x - 4y$ という組み合わせだけで決まる形に整える必要がある。これは完全平方を探せという強いヒントである。

2. 2

   式を完全平方の形に照らす。 使う公式は

   $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

   である。ここで $A^2 = x^2$ より $A = x$、$B^2 = 16y^2$ より $B = 4y$ となる。真ん中の項を確かめると $2AB = 2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$ であり、式の $-8xy$ と一致する。

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   式を 1 つの平方として書き直す。

   $C = x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$

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   かっこ全体に与えられた値を代入する。 $x - 4y = 5$ なので

   $C = 5^2 = 25$

   代入するのは $x$ や $y$ の個々の値ではなく式全体 $x - 4y$ である。これがこの問題を解けるものにしている。

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   具体的な組で確かめる。 $x - 4y = 5$ を満たす $(x, y)$ なら、どれでも同じ答えになるはずである。$y = 0$、$x = 5$ とすると $25 - 0 + 0 = 25 \ \checkmark$。$y = 1$、$x = 9$ とすると $81 - 72 + 16 = 25 \ \checkmark$。$y = -2$、$x = -3$ とすると $9 - 48 + 64 = 25 \ \checkmark$。