i を 2 から 5 まで動かしたときの (i² − 1) の和を求めよ。

Step-by-step solution

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   シグマの記号が何を指示しているかを読む。 添字 $i$ は整数 $2,3,4,5$ を動く。上下の値がどちらも含まれるので、項は 5 個ではなく 4 個である。それぞれについて $i^2-1$ に代入し、結果を足し合わせる。

2. 2

   各項を計算する。 $i=2$：$4-1=3$。$i=3$：$9-1=8$。$i=4$：$16-1=15$。$i=5$：$25-1=24$。なお各項は $i^2-1=(i-1)(i+1)$ なので、値は $1\cdot3$、$2\cdot4$、$3\cdot5$、$4\cdot6$ と表せる。

3. 3

   4 つの項を足す。 $3+8+15+24 = 50.$ 組にすると楽である。$3+24=27$、$8+15=23$、そして $27+23=50$ となる。

4. 4

   公式で検算する。 和を分ける：$\sum_{i=2}^{5} i^2 - \sum_{i=2}^{5} 1$。前者は $\tfrac{5\cdot6\cdot11}{6}-1 = 55-1 = 54$（$5$ までの平方の和から $i=1$ の項を引いたもの）、後者は単に $4$ である。よって $54-4=50$ となり一致する。

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   典型的な 2 つの落とし穴に注意する。 添字を $2$ ではなく $1$ から始めると $1^2-1=0$ が加わるだけで、ここではたまたま答えが変わらない。しかし最後に $1$ を 1 回だけ引く（$54-1=53$ とする）のは本当の誤りである。$-1$ は和の中身にあるので、4 回引かれるからである。