g(x) は −2 < x ≤ 5 のとき 2x − 4、x > 5 のとき x² − 2x + 3 とする。g(−1)、g(7)、g(0)、g(−2) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   区分関数に正しい手順で取りかかる。 各入力について、まず条件を照らしてどの式が当てはまるかを決め、そのあとで代入する。誤った式に代入することが、この問題での唯一の失敗の形である。

2. 2

   (a) g(−1)。 $-2<-1\le 5$ か。はい。よって 1 つ目の式を使う。

   $g(-1)=2(-1)-4=-2-4=-6.$

3. 3

   (b) g(7)。 $7>5$ か。はい。よって 2 つ目の式を使う。

   $g(7)=7^{2}-2(7)+3=49-14+3=38.$

4. 4

   (c) g(0)。 $-2<0\le 5$ か。はい。ふたたび 1 つ目の式である。

   $g(0)=2(0)-4=-4.$

5. 5

   (d) g(−2)——不等号の記号をよく見る。 1 つ目の式の条件は $-2<x$、すなわち等号を含まない厳密な不等式なので、$x=-2$ は当てはまらない。2 つ目の条件 $x>5$ も $-2$ は満たさない。どの式も $-2$ を覆わないので

   $g(-2)\ \text{は定義されない。}$

   もし条件が $-2\le x\le 5$ だったなら、答えは $2(-2)-4=-8$ になっていた。たった 1 文字が問題のすべてである。

6. 6

   そこから従う定義域を述べる。 2 つの条件を合わせると $(-2,5]\cup(5,\infty)=(-2,\infty)$ を覆うので、$g$ は $x>-2$ のすべてで定義され、それ以外では定義されない。なお 2 つの部分はつながっていない。1 つ目の式は $x=5$ で $2(5)-4=6$ に達し、2 つ目はその直後で $25-10+3=18$ に近づくので、グラフは $x=5$ で跳ぶ。