関数 f(x) = x² − 2x + 9 の定義域を求め、答えを区間で表せ。

Step-by-step solution

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   何がまずくなりうるのかを問う。 定義域を求めるとは、禁じられた演算を探すことである。ふつうの代数ではそれは 3 つしかない。0 で割ること、負の数の偶数乗根をとること、そして 0 以下の数の対数をとることである。

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   式をその一覧と照らし合わせる。 $f(x)=x^2-2x+9$ は多項式であり、$x$ から掛け算と足し算だけで組み立てられている。分母も根号も対数もないので、3 つの破綻はどれも起こりえない。

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   すべての実数の入力について結論する。 どんな実数 $x$ を代入しても実数の出力が出る。たとえば $f(0)=9$、$f(-100)=10209$、$f(3.5)=14.25$ である。よって

   $\text{定義域}(f)=(-\infty,\infty).$

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   これを値域と混同しない。 平方完成すると

   $f(x)=(x-1)^{2}+8,$

   となるので、出力は $8$ を下回らない。同じことだが、判別式 $(-2)^2-4(1)(9)=-32$ が負なので $f$ は実数の零点を持たない。これが制限するのは値域であって $[8,\infty)$ となるだけで、どんな入力が許されるかについては何も言っていない。

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   一般則を述べる。 次数がいくつであれ、多項式関数の定義域はつねに $(-\infty,\infty)$ である。定義域が面白くなるのは、式が分数、偶数乗根、対数を含むときだけである。