x/y = 2/3 のとき、(3x² − 2xy + 5y²)/(5x² − 3xy + 3y²) の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   式が 2 次の同次式であることに気づく。 分子・分母のどの項も $x$ と $y$ について合計 $2$ 次である。つまり値は個々の大きさではなく比 $x:y$ だけで決まる。比が 1 つ与えられれば十分なのは、まさにこのためである。

2. 2

   比を文字で表す。 $\dfrac xy=\dfrac23$ より

   $x=2k,\qquad y=3k\qquad(k\neq 0)$

   $x=2$、$y=3$ をそのまま使ってもよい。文字 $k$ を置くのは約分の様子を見やすくするためである。

3. 3

   分子を計算する。

   $3(2k)^{2}-2(2k)(3k)+5(3k)^{2}=12k^{2}-12k^{2}+45k^{2}=45k^{2}$

4. 4

   分母を計算する。

   $5(2k)^{2}-3(2k)(3k)+3(3k)^{2}=20k^{2}-18k^{2}+27k^{2}=29k^{2}$

5. 5

   割って約分する。

   $\frac{45k^{2}}{29k^{2}}=\frac{45}{29}$

   $\boxed{\dfrac{45}{29}}$

6. 6

   同じ比の別の組で確かめる。 $x=4$、$y=6$（やはり $2:3$）とすると、分子 $=48-48+180=180$、分母 $=80-72+108=116$ であり、$\tfrac{180}{116}=\tfrac{45}{29}$ ✓。答えが本当に比だけで決まることが確かめられる。

7. 7

   別解：y² で割る。 $r=\tfrac xy=\tfrac23$ と書くと、式は $\dfrac{3r^{2}-2r+5}{5r^{2}-3r+3}=\dfrac{\tfrac{12}{9}-\tfrac43+5}{\tfrac{20}{9}-2+3}=\dfrac{5}{\tfrac{29}{9}}=\dfrac{45}{29}$ となる。より短い道で同じ値に着く。