次の割り算を実行して簡単にせよ：(y² − 81) ÷ (y² + 4y − 45)/(y² + 9)。

Step-by-step solution

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   まず割り算を掛け算に直す。 分数で割ることは、その逆数を掛けることに等しい。他に手をつける前に、2 番目の式をひっくり返す。割り算の記号をまたいで約分しようとするのが、この種の問題で最も多い誤りである。

   $\left(y^{2}-81\right)\div\frac{y^{2}+4y-45}{y^{2}+9}=\left(y^{2}-81\right)\cdot\frac{y^{2}+9}{y^{2}+4y-45}$

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   すべての多項式を完全に因数分解する。 約分できるのは因数どうしだけなので、各部分が積の形になるまで何も簡単にできない。最初のものは平方の差であり、2 次式は掛けて $-45$、足して $4$ になる 2 数、すなわち $9$ と $-5$ から因数分解できる。

   $y^{2}-81=(y-9)(y+9),\qquad y^{2}+4y-45=(y+9)(y-5)$

   $y^{2}+9$ は平方の和なので実数の範囲では因数分解できず、そのまま残る。

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   1 つの分数にまとめる。 因数分解した分子を、因数分解した分母の上に置く。

   $\frac{(y-9)(y+9)\left(y^{2}+9\right)}{(y+9)(y-5)}$

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   共通因数を約分し、条件を書き添える。 因数 $(y+9)$ が分子と分母の両方にあるので約分できる。

   $\frac{(y-9)\left(y^{2}+9\right)}{y-5}$

   この約分が正当なのは $y+9\neq 0$ のときだけであり、残った分母からは $y=5$ も除かれる。よって簡単にした形が成り立つのは $y\neq -9$ かつ $y\neq 5$ のときである。

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   代入して結果を確かめる。 $y=2$ のとき、もとの式は $(4-81)\div\dfrac{4+8-45}{4+9}=(-77)\cdot\dfrac{13}{-33}=\dfrac{1001}{33}$ であり、簡単にした形は $\dfrac{(2-9)(4+9)}{2-5}=\dfrac{-91}{-3}=\dfrac{91}{3}=\dfrac{1001}{33}$ を与える。両者は一致するので、計算は正しい。