オートバイの速さは自転車より 40 km/h 速く、30 km の道のりをオートバイは自転車より 1 時間短い時間で走った。自転車はこの道のりに何時間かけたか。2 時間、1.5 時間、1 時間、3 時間から選べ。

Step-by-step solution

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   時間ではなく速さに文字を置く。 自転車の速さを $v$（km/h）とすると、オートバイの速さは $v+40$ である。速さを未知数に選ぶと、両者の時間が同じ距離の単純な商として書ける：

   $t_{\text{自転車}}=\frac{30}{v},\qquad t_{\text{バイク}}=\frac{30}{v+40}.$

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   「1 時間短い」を式に直す。 遅い方が 1 時間多くかかるので、その順に引く：

   $\frac{30}{v}-\frac{30}{v+40}=1.$

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   分母を払う。 $v>0$ なのでゼロでない $v(v+40)$ を両辺に掛ける：

   $30(v+40)-30v=v(v+40)\ \Longrightarrow\ 1200=v^{2}+40v.$

   $30v$ の項が打ち消し合うので、計算がきれいなままで済む。

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   2 次方程式を解き、負の解を捨てる。

   $v^{2}+40v-1200=0\ \Longrightarrow\ v=\frac{-40\pm\sqrt{1600+4800}}{2}=\frac{-40\pm 80}{2},$

   より $v=20$ または $v=-60$ である。速さが負になることはないので $v=20\ \text{km/h}$。

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   問われていることに答える。 問題が求めているのは自転車の時間であって速さではない：

   $t=\frac{30}{20}=1.5\ \text{時間},$

   すなわち選択肢 2 である。

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   話の筋と照らして確かめる。 オートバイは $60\ \text{km/h}$ で走り $30/60=0.5$ 時間かかる。自転車は $1.5$ 時間かかる。差はちょうど 1 時間で、速さの差は $40\ \text{km/h}$ である ✓。