x³ − 59x² − 420x + 10800 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   まず有理根定理を試し、失敗させる。 モニックな整数係数 3 次式の有理根は、定数項 $10800=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}$ の整数の約数でなければならない。あり得そうな候補を試すと：$f(10)=1700$、$f(12)=-1008$、$f(15)=-5400$、$f(20)=-13200$、$f(-15)=450$、$f(-20)=-12400$。どれも消えず、残りの約数も同様なので、有理根は存在せず整数上での因数分解もできない——この 3 次方程式は数値的に解くしかない。

2. 2

   符号の変化から解の位置を突き止める。 いま計算した $f(x)=x^{3}-59x^{2}-420x+10800$ の値だけで、すでにすべての解を挟めている。$f(-20)=-12400<0$ かつ $f(-15)=450>0$ なので $(-20,-15)$ に解が 1 つある。$f(11)=372>0$ かつ $f(12)=-1008<0$ なので $(11,12)$ に 2 つ目がある。さらに $f(62)=-3708<0$ かつ $f(63)=216>0$ なので $(62,63)$ に 3 つ目がある。3 次式で符号変化が 3 か所ということは、3 解とも実数かつ単純根である。

3. 3

   各区間をニュートン法で詰める。 $f'(x)=3x^{2}-118x-420$ を使い、各区間の中点から $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ を反復すると、数歩で $x_{1}=-15.219737190,\qquad x_{2}=11.273122422,\qquad x_{3}=62.946614768.$ に収束する。どの解でも導関数はゼロから十分離れており（$2070.85$、$-1368.98$、$4039.13$）、ニュートン法はきれいに収束する。

4. 4

   和だけでなく、解と係数の関係 3 本すべてで検証する。 $x^{3}+ax^{2}+bx+c$ の解は $\sum r_{i}=-a$、$\sum_{i<j}r_{i}r_{j}=b$、$r_{1}r_{2}r_{3}=-c$ を満たす。得られた値からは $\sum r_{i}=59.000000,\qquad \sum_{i<j}r_{i}r_{j}=-420.000000,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-10800.000000,$ となり、$59$、$-420$、$-10800$ とぴったり一致する。和だけを確かめるのでは足りない——誤った 2 解の組でも和は正しく揃いうるのに、積は大きく外れることがある。

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   答えを述べる。 $x\approx -15.219737,\qquad x\approx 11.273122,\qquad x\approx 62.946615.$ 解が大きく散らばるのは係数から予想できたことである。最高次の振る舞い $x^{3}-59x^{2}$ が 1 つの解を $60$ の向こうへ押し出す一方、大きな定数 $10800$ が残り 2 つを比較的小さく抑えている。