x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.074296 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   なぜ解が巨大なもの 1 つと微小なもの 2 つに分かれるのかを見る。 $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.074296=0$ では 2 次の係数が他をすべて圧倒している。解と係数の関係によれば 3 解の和は $245.711$、積は $-0.074296$ でゼロに近い数である。よって 1 つの解が和のほぼ全部を担い、残りの 2 つは積を微小に保てるほど小さくなければならない。この構造に気づくことが、問題を 2 つのやさしい部分問題に分ける鍵である。

2. 2

   $x^{3}$ を捨てて小さい 2 解を求める。 $|x|$ が数百分の 1 程度でしかないなら $x^{3}$ は $10^{-5}$ の桁であり、$245.711x^{2}$ の隣ではまったく無視できる。落とすと 2 次方程式 $245.711x^{2}-2.764156x-0.074296=0,$ が残り、その判別式は $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.074296)=80.6619362163,\qquad \sqrt{D}=8.9811990411.$ となる。解の公式から $x\approx -0.012651129\quad\text{および}\quad x\approx 0.023900751.$

3. 3

   この 2 つをニュートン法 1 歩で仕上げる。 捨てた $x^{3}$ の項は各解を小数第 7 位のあたりでずらすだけであり、もとの 3 次式にニュートン法 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ を適用すると $x=-0.012650903\qquad\text{および}\qquad x=0.023902272.$ に収束する。2 次方程式による見積もりと比べると補正はわずか $2.3\times 10^{-7}$ と $1.5\times 10^{-6}$ で、これはまさに「$x^{3}$ を捨てる」が約束していたとおりである。無視した項の大きさは $10^{-5}$、これに対する $245.711x^{2}$ の項は $10^{-1}$ の大きさだった。

4. 4

   大きい解は 3 次方程式の公式ではなく、解の和から得る。 3 解の和は $245.711$ でなければならないので、 $x_{\text{大}}=245.711-\left(-0.012650903+0.023902272\right)=245.699748632.$ この値を $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.074296$ に代入すると、有効数字 12 桁でゼロになる。

5. 5

   解と係数の関係を 2 本とも使って検証する。 3 解 $-0.012650903$、$0.023902272$、$245.699748632$ の和はちょうど $245.711000000$、積は $-0.074296$ で、要求どおり $-c$ と一致する。ここで効くのは積の検査である。小さい 2 解が誤っていても和は満たされうる——大きい解が差を吸収してしまうからで、誤りを暴けるのは積だけである。

6. 6

   解集合を述べる。 $x=-0.012650903,\qquad x=0.023902272,\qquad x=245.699748632.$ 3 解とも実数であり、これはゼロのすぐ下で 1 回、すぐ上で 1 回、そして $245.7$ の遠方で 1 回、軸を横切る 3 次曲線と整合する。