x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.138128 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まずスケールを分ける。 $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128=0$ では、解と係数の関係が解の和 $245.711$、解の積 $-0.138128$ を与える。大きな和とほぼゼロの積という組み合わせは、支配的な解 1 つと小さい解 2 つを意味する。定石は、それぞれの領域で無視できる項を落とすことである。

2. 2

   $x^{3}$ を捨てて小さい 2 解を求める。 $|x|$ が数百分の 1 程度でしかないなら $x^{3}$ は $10^{-5}$ の桁であり、$245.711x^{2}$ の隣ではまったく無視できる。落とすと 2 次方程式 $245.711x^{2}-2.764156x-0.138128=0,$ が残り、その判別式は $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.138128)=143.3988344243,\qquad \sqrt{D}=11.9749252367.$ となる。解の公式から $x\approx -0.018743095\quad\text{および}\quad x\approx 0.029992718.$

3. 3

   この 2 つをニュートン法 1 歩で仕上げる。 捨てた $x^{3}$ の項は各解を小数第 7 位のあたりでずらすだけであり、もとの 3 次式にニュートン法 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ を適用すると $x=-0.018742545\qquad\text{および}\qquad x=0.029994971.$ に収束する。2 次方程式による見積もりと比べると補正はわずか $5.5\times 10^{-7}$ と $2.3\times 10^{-6}$ で、これはまさに「$x^{3}$ を捨てる」が約束していたとおりである。無視した項の大きさは $10^{-5}$、これに対する $245.711x^{2}$ の項は $10^{-1}$ の大きさだった。

4. 4

   大きい解は 3 次方程式の公式ではなく、解の和から得る。 3 解の和は $245.711$ でなければならないので、 $x_{\text{大}}=245.711-\left(-0.018742545+0.029994971\right)=245.699747574.$ この値を $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.138128$ に代入すると、有効数字 12 桁でゼロになる。

5. 5

   解と係数の関係を 2 本とも使って検証する。 3 解 $-0.018742545$、$0.029994971$、$245.699747574$ の和はちょうど $245.711000000$、積は $-0.138128$ で、要求どおり $-c$ と一致する。ここで効くのは積の検査である。小さい 2 解が誤っていても和は満たされうる——大きい解が差を吸収してしまうからで、誤りを暴けるのは積だけである。

6. 6

   解集合を述べる。 $x=-0.018742545,\qquad x=0.029994971,\qquad x=245.699747574.$ 3 解とも実数であり、これはゼロのすぐ下で 1 回、すぐ上で 1 回、そして $245.7$ の遠方で 1 回、軸を横切る 3 次曲線と整合する。