x³ − 14x² + 23 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $x$ の項が欠けていることが何を教えているかに注目する。 省略せずに書けばこの 3 次式は $x^{3}-14x^{2}+0\cdot x+23=0$ なので、解と係数の関係から $r_{1}+r_{2}+r_{3}=14,\qquad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=0,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-23.$ 真ん中の関係がちょうどゼロであることは強い制約で、最後に使える最良の検算になる。

2. 2

   有理根を排除する。 モニックな整数係数 3 次式の有理根は定数項 $23$ を割り切らなければならず、これは素数なので候補は $\pm1$ と $\pm23$ だけである。試すと $f(1)=10$、$f(-1)=8$、$f(23)=4784$、$f(-23)=-19550$。どれも消えないので、この 3 次式は有理数体上で因数分解できず、解は数値的に求めるしかない。

3. 3

   3 つの解を挟み込む。 $f(x)=x^{3}-14x^{2}+23$ とすると：$f(-1.3)=-2.857,\quad f(-1.2)=1.112,\quad f(1.3)=1.537,\quad f(1.4)=-1.696,\quad f(13.8)=-15.088,\quad f(13.9)=3.679.$ 符号変化が 3 か所あるので 3 解とも実数であり、$(-1.3,-1.2)$、$(1.3,1.4)$、$(13.8,13.9)$ にある。

4. 4

   ニュートン法で精度を上げる。 $f'(x)=3x^{2}-28x$ を使い、各区間の内側で $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ を反復すると $x_{1}=-1.228935648,\qquad x_{2}=1.348309644,\qquad x_{3}=13.880626004.$ が得られる。

5. 5

   解と係数の関係 3 本すべてで確認する。 和は $14.000000000$、2 つずつの積の和は $-0.000000000$、積は $-23.000000000$ ——3 本とも係数と一致する。決め手は 2 つずつの積の和である。$-1.255$、$1.333$、$13.922$ のような丸めた値はもっともらしく見え、和も $14$ の近くに保たれるが、この検査で落ちる（実際 $f(13.922)=7.88$ であって $0$ ではない）。

6. 6

   答えを述べる。 $x\approx -1.228936,\qquad x\approx 1.348310,\qquad x\approx 13.880626.$ 2 つの解は原点の近くに、1 つは $14$ 近くの遠方にある。支配的な $-14x^{2}$ と小さな定数 $23$ の組み合わせからは、まさにこうなるはずである。