ある複素行列の固有多項式が x³(x − 1)⁴ である。このような行列の相似類は何個あるか。

Step-by-step solution

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   $\mathbb{C}$ 上ではジョルダン標準形が完全不変量である、という事実を使う。 2 つの複素行列が相似であるのは、ブロックの並べ方を除いてジョルダン標準形が一致するとき、かつそのときに限る。よって相似類を数えることは、あり得るジョルダン標準形を数えることにほかならない——それ以外のデータでは区別できない。

2. 2

   固有多項式から固有値とその代数的重複度を読み取る。 $x^3(x-1)^4$ より、行列は $7\times 7$ で

   $\lambda=0 \text{ の重複度は } 3,\qquad \lambda=1 \text{ の重複度は } 4$

   である。固有多項式は各固有値におけるブロックの合計サイズを決めるが、その合計をどうブロックに分けるかまでは決めない——残された自由度はまさにそこにある。

3. 3

   「ブロックのサイズ」を整数の分割に読み替える。 1 つの固有値に属するジョルダンブロックのサイズは、その代数的重複度を和とする正の整数の組であり、並び順は問わない。したがって固有値 $\lambda$ における選び方は、その重複度の分割と 1 対 1 に対応し、個数は分割数 $p$ で数えられる。

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   $3$ の分割と $4$ の分割を書き出す。 $\lambda=0$ については：

   $3,\quad 2+1,\quad 1+1+1\qquad\Longrightarrow\quad p(3)=3$

   $\lambda=1$ については：

   $4,\quad 3+1,\quad 2+2,\quad 2+1+1,\quad 1+1+1+1\qquad\Longrightarrow\quad p(4)=5$

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   2 つの固有値は独立に選べるので、掛け合わせる。 $0$ におけるジョルダン構造は $1$ における構造に何の制約も与えないので、総数は積になる：

   $p(3)\cdot p(4)=3\cdot 5=15$

   ある 1 つの類の代表は $J_2(0)\oplus J_1(0)\oplus J_3(1)\oplus J_1(1)$ である。2 つの分割を独立に動かせば $15$ 通りすべてが現れる。

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   両極端で妥当性を確かめる。 両側とも全部 $1$ の分割をとると対角化可能な行列 $\operatorname{diag}(0,0,0,1,1,1,1)$ になり、これでちょうど 1 つの類である。ブロック 1 個ずつの分割をとると $J_3(0)\oplus J_4(1)$ になり、これは最小多項式が固有多項式と等しく $x^3(x-1)^4$ になる類である。どちらも $15$ の中に 1 回ずつ数えられている。