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Algebra · real student question

f(x) = 4x − 7、g(x) = 8x² − 2x − 3、h(x) = 4x³ + 9x − 2 のとき、(g∘f)(x)、(h∘f)(2)、(f∘h)(x) を求めよ。

Question

次のように与えられているとする。

f(x)=4x−7,g(x)=8x2−2x−3,h(x)=4x3+9x−2f(x) = 4x-7, \qquad g(x) = 8x^2-2x-3, \qquad h(x) = 4x^3+9x-2

(a) (g∘f)(x)(g \circ f)(x)、(b) (h∘f)(2)(h \circ f)(2)、(c) (f∘h)(x)(f \circ h)(x) を求めよ。

Step-by-step solution

  1. 約束を確かめる。 (g∘f)(x)(g \circ f)(x) は g(f(x))g(f(x)) を意味する。つまり右側の関数が先に働く。順序を入れ替えると一般には別の答えになり、ここでは (f∘g)(x)=32x2−8x−19(f \circ g)(x) = 32x^2 - 8x - 19 となって (a) とはまるで違う。

  2. (a) f を g に代入する。 gg の中の xx をすべて 4x−74x-7 に置き換える：

    g(f(x))=8(4x−7)2−2(4x−7)−3g(f(x)) = 8(4x-7)^2 - 2(4x-7) - 3

    (4x−7)2=16x2−56x+49(4x-7)^2 = 16x^2 - 56x + 49 なので：

    =128x2−448x+392−8x+14−3=128x2−456x+403= 128x^2 - 448x + 392 - 8x + 14 - 3 = 128x^2 - 456x + 403

  3. (b) 先に内側を計算する。 数値の合成では一般の式を作る必要はない：

    f(2)=4(2)−7=1,h(1)=4(1)3+9(1)−2=11f(2) = 4(2) - 7 = 1, \qquad h(1) = 4(1)^3 + 9(1) - 2 = 11

    なので (h∘f)(2)=11(h \circ f)(2) = 11 である。先に記号のまま合成すると、何の得もないのに (4x−7)3(4x-7)^3 を展開する羽目になる。

  4. (c) h を f に代入する。 ff が一次なので、この合成は簡単である。定数倍して平行移動するだけである：

    f(h(x))=4(4x3+9x−2)−7=16x3+36x−8−7=16x3+36x−15f(h(x)) = 4\left(4x^3 + 9x - 2\right) - 7 = 16x^3 + 36x - 8 - 7 = 16x^3 + 36x - 15

  5. 答えを数値で確かめる。 x=1.7x = 1.7 では f(1.7)=−0.2f(1.7) = -0.2、g(−0.2)=0.32+0.4−3=−2.28g(-0.2) = 0.32 + 0.4 - 3 = -2.28 であり、公式のほうも 128(2.89)−456(1.7)+403=−2.28128(2.89) - 456(1.7) + 403 = -2.28 となる。(c) について x=−2.3x = -2.3 では h(−2.3)=−71.368h(-2.3) = -71.368、f(−71.368)=−292.472f(-71.368) = -292.472 であり、16(−12.167)+36(−2.3)−15=−292.47216(-12.167) + 36(-2.3) - 15 = -292.472 となる。どちらも一致する。

  6. 次数の規則に注目する。 mm 次と nn 次の多項式を合成すると次数は mnmn になる。g∘fg \circ f は 2×1=22 \times 1 = 2、f∘hf \circ h は 1×3=31 \times 3 = 3 で、上の結果と一致する。

Answer

(g∘f)(x)=128x2−456x+403,(h∘f)(2)=11,(f∘h)(x)=16x3+36x−15(g\circ f)(x) = 128x^2 - 456x + 403, \quad (h\circ f)(2) = 11, \quad (f\circ h)(x) = 16x^3 + 36x - 15

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