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Algebra · real student question

次の 3 つの S の式を簡単にし、互いに等しいかどうかを判定せよ：((0.6S − 25 − 150×0.04 − 100×0.04)×0.75 − 30×0.08)/30、((0.6S − 25 − 150×0.04)×0.75 − 30×0.08)/(30 + 100/40)、(0.45S − 25.65)/32.5。

Question

それぞれの式を簡単にし、主張されている等式の連鎖が正しいかどうかを判定せよ：

(0.6S−25−150⋅0.04−100⋅0.04)⋅0.75−30⋅0.0830=(0.6S−25−150⋅0.04)⋅0.75−30⋅0.0830+100/40=0.45S−25.6532.5\frac{(0.6S-25-150\cdot 0.04-100\cdot 0.04)\cdot 0.75-30\cdot 0.08}{30}=\frac{(0.6S-25-150\cdot 0.04)\cdot 0.75-30\cdot 0.08}{30+100/40}=\frac{0.45S-25.65}{32.5}

Step-by-step solution

  1. 先に共通する数値の定数を計算する。 150⋅0.04=6150\cdot 0.04=6、100⋅0.04=4100\cdot 0.04=4、30⋅0.08=2.430\cdot 0.08=2.4、そして 100/40=2.5100/40=2.5 である。SS に手をつける前にすべての積を数に直しておくと、3 つの式が比較できる形に保たれる。

  2. 1 つ目の式を簡単にする。 括弧の中は 0.6S−25−6−4=0.6S−350.6S-25-6-4=0.6S-35 である。次に (0.6S−35)(0.75)−2.4=0.45S−26.25−2.4=0.45S−28.65(0.6S-35)(0.75)-2.4=0.45S-26.25-2.4=0.45S-28.65 となり、3030 で割ると 0.015S−0.955=3S200−1912000.015S-0.955=\frac{3S}{200}-\frac{191}{200} が得られる。

  3. 2 つ目の式を簡単にする。 ここで引かれているのは 150⋅0.04=6150\cdot 0.04=6 だけなので、括弧の中は 0.6S−310.6S-31 である。次に (0.6S−31)(0.75)−2.4=0.45S−23.25−2.4=0.45S−25.65(0.6S-31)(0.75)-2.4=0.45S-23.25-2.4=0.45S-25.65 となり、分母は 30+2.5=32.530+2.5=32.5 なので 0.45S−25.6532.5\frac{0.45S-25.65}{32.5} が得られる。

  4. 3 つ目の式と比べる。 2 つ目の式はすでに、ちょうど 3 つ目の式そのもの 0.45S−25.6532.5=9S650−513650≈0.0138462S−0.789231\frac{0.45S-25.65}{32.5}=\frac{9S}{650}-\frac{513}{650}\approx 0.0138462S-0.789231 にまで簡単になっている。したがって連鎖の 2 番目の等号は正しい。

  5. 1 つ目を他の 2 つと比べる。 3S200−191200\frac{3S}{200}-\frac{191}{200} と 9S650−513650\frac{9S}{650}-\frac{513}{650} は傾きが違い（0.0150.015 対 0.01384620.0138462）、切片も違うので、同じ式ではない。連鎖の 1 番目の等号は偽である。余分な −100⋅0.04-100\cdot 0.04 を落とすことと、分母を 3030 から 32.532.5 に変えることは、互いを打ち消し合う変更ではない。

  6. どこで一致するのかを求める。 3S200−191200=9S650−513650\frac{3S}{200}-\frac{191}{200}=\frac{9S}{650}-\frac{513}{650} とおいて 1300013000 を掛けると 195S−12415=180S−10260195S-12415=180S-10260 となり、15S=215515S=2155、よって S=4313≈143.67S=\frac{431}{3}\approx 143.67 である。2 つの式が一致するのは、この 1 つの値においてのみである。

  7. S = 100 と交点での数値検算。 S=100S=100 では式 1 が 0.015(100)−0.955=0.5450.015(100)-0.955=0.545、式 2 と式 3 はどちらも 0.0138462(100)−0.789231=0.5953850.0138462(100)-0.789231=0.595385 となり、予想どおり異なる。S=4313S=\frac{431}{3} では両辺ともちょうど 1.21.2 になり、交点がただ 1 つであることが確かめられる。

Answer

等しいのは後ろの 2 つだけ：3S200−191200≠9S650−513650 （ただし S=4313 を除く）\text{等しいのは後ろの 2 つだけ：}\tfrac{3S}{200}-\tfrac{191}{200}\ne\tfrac{9S}{650}-\tfrac{513}{650}\ \text{（ただし } S=\tfrac{431}{3}\text{ を除く）}

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