四角形——面積公式

正方形

$A = s^2$

一辺の二乗。正方形は縦横が等しい長方形なので、 $A = l\cdot w$ が $s^2$ に簡約。

長方形

$A = l \cdot w$

縦 × 横。単位正方形による敷き詰めの議論：整数辺 $l\times w$ の長方形にはちょうど $lw$ 個の単位正方形が入る。

平行四辺形

$A = b \cdot h$

底辺 × 垂直の高さ——斜辺ではない。一端の三角形を切って反対側に移すと、平行四辺形は長方形になる。

ひし形

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

対角線の積の半分。対角線は互いに直交し中点で交わり、ひし形を 4 つの合同な直角三角形に分ける。

台形

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

平行な 2 辺 $a,b$ の平均に高さ $h$ を掛ける。2 つを上下逆に貼り合わせると底辺 $a+b$ の平行四辺形になる。

凧形

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

ひし形と同じ「対角線の積」公式——凧形は対角線が直交するより一般的な四角形。

三角形——与えられた情報別

底辺と高さ

$A = \tfrac{1}{2} b h$

底辺 × 高さ ÷ 2 — どんな三角形でも成立。2 つ合わせると底辺 $b$ 、高さ $h$ の平行四辺形になる。

ヘロンの公式（3 辺）

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

3 辺の長さしか分からず、高さがないときに使う。 $s$ は半周長。

2 辺と挟まれた角（SAS）

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

第 3 頂点から垂線を下ろすと長さは $a\sin C$ となり、標準公式 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{底}\cdot\text{高}$ に戻る。

正三角形

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$a=b$ 、 $C = 60^{\circ}$ における SAS の特別な場合。 $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ により定数 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ が出る。

円と曲線図形

円

$A = \pi r^2$

パイ・アール二乗。半径を 0 から $r$ まで動かして円周 $2\pi r$ を積分すると出る（年輪法）。

扇形

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

$\theta$ はラジアンで。円全体の面積 $\pi r^2$ の $\theta / (2\pi)$ 倍に等しい。

円環（リング）

$A = \pi (R^2 - r^2)$

外側の円の面積から内側の円の面積を引く——中央の穴は引き算で処理。

楕円

$A = \pi a b$

半長軸 $a$ 、半短軸 $b$ 、 $\pi$ の積。 $a = b = r$ なら $\pi r^2$ に帰着——円は両軸が等しい楕円。

正多角形と座標法

正 n 角形

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ は周の長さ、 $a$ は中心から辺までの距離（アポテム）。多角形を $n$ 個の合同三角形に分割すれば導かれる。

正六角形

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

正六角形は一辺 $a$ の正三角形 6 個分なので $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ 。

座標法（靴ひも公式）

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

頂点座標 $(x_i, y_i)$ を順番に入れ、末尾を先頭に戻す（ $x_{n+1}=x_1$ ）。任意の単純多角形に使え、三角形分割は不要。

面積 Formulas