指数法則をわかりやすく解説：すべての法則を例題つきで

指数は繰り返しの掛け算を 1 つのエレガントな表記に圧縮します。下にある 7 つの法則を身につけてしまえば、$\frac{x^5 y^{-2}}{x^{-3} y^4}$ のような式の簡約は 30 秒の作業になります。このページは、宿題中に開いておけるチートシートです。

なぜ指数が重要なのか

指数法則は恣意的なものではありません――すべては定義 $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ 個}}$ から導かれます。各法則がなぜ成り立つのかが見えれば、暗記をやめて必要なときに導出できるようになります。

7 つの基本法則

#	法則	例
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
2	$a^m / a^n = a^{m-n}$	$x^7 / x^2 = x^5$
3	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(x^2)^3 = x^6$
4	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
5	$(a/b)^n = a^n / b^n$	$(x/y)^4 = x^4/y^4$
6	$a^{-n} = 1/a^n$	$x^{-3} = 1/x^3$
7	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

加えて、定義による 2 つの場合：任意の $a \ne 0$ について $a^0 = 1$、そして $a^1 = a$。

例題：法則を組み合わせる

$\frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$ を簡約します。

1. 括弧に法則 4 を適用します：$(2x^3)^2 = 4x^6$。
2. 代入します：$\frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$。
3. 4 を約分します：$\frac{x^6 \cdot x^{-4}}{x^{-1}}$。
4. 分子を法則 1 でまとめます：$\frac{x^2}{x^{-1}}$。
5. 法則 2 を適用します：$x^{2 - (-1)} = x^3$。

簡約全体は単なる帳簿付けです――法則があなたを運んでくれます。

負の指数と分数指数の直感

負の指数は「負の数」を意味しません。逆数を意味します。したがって $5^{-2} = 1/25$ であり、$-25$ ではありません。

分数指数 $a^{p/q}$ はまず根、次にべき乗（あるいはまずべき乗、次に根、答えは同じ）です。分母が根を選び、分子がべき乗を選びます：$32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$。

よくある間違い

• $(a + b)^n \ne a^n + b^n$ ――指数は加法に対して分配されません。$(2 + 3)^2 = 25$ であり、$4 + 9$ ではありません。
• $a^{-n} \ne -a^n$ ――負の指数は逆数であって、符号反転ではありません。
• $0^0$ は代数と組合せ論では慣習的に $1$ ですが、解析の一部の文脈では未定義です。迷ったときは注意してください。

AI 指数ソルバーで試す

任意の式を指数 / 簡約ソルバーに貼り付けると、まさに上の法則を使ったステップバイステップの簡約が得られます。

関連リンク：

• 簡約計算機 — 一般的な代数の整理向け
• 対数計算機 — 指数の逆演算
• 多項式計算機 — 指数法則が最もよく登場する場所