平方完成は、学生が一度見て忘れてしまう代数の操作の一つです。しかしこれは、解の公式、放物線の頂点形式、そしていくつかのよく使う微積分の積分の背後にある唯一の技法です。このコツを身につければ、一生使える道具が手に入ります。

中心となる考え方

平方の二項式 $(x + h)^2$ を展開すると $x^2 + 2hx + h^2$ になります。任意の式 $x^2 + bx$ を完全平方にするには、 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ を加える必要があります。コツはこれだけです。

例題：モニックの場合

$x^2 + 6x + 5$ を平方完成しなさい。

9 を加えて 9 を引いた——差し引きゼロですが、最初の 3 項がいまや完全平方になっています。

$2x^2 + 12x + 7$ を平方完成しなさい。

$x^2 + 6x + 5 = 0$ を解くには：
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$ 。

解の公式と同じ答えが、ゼロから導けます。

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ は頂点形式 $y = a(x - h)^2 + k$ になっています。頂点は $(h, k) = (-3, -11)$ にあり、上に開いています（ $a > 0$ のため）。微積分なしで読み取れます。

$\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ のような積分は直接攻めても解けませんが、平方完成すれば屈服します： $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$ とし、次に $u = x + 2$ と置換すると逆正接（アークタンジェント）が見えてきます。

二次方程式ソルバーは、平方完成のアプローチを解の公式と並べて表示します。