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Calcolatrice di integrali tripli

Calcola integrali tripli in coordinate rettangolari, cilindriche o sferiche con soluzioni passo passo basate sull'AI

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∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

Che cos'è un integrale triplo?

Un integrale triplo estende il concetto di integrali semplici e doppi a tre dimensioni. Per una funzione f(x,y,z)f(x, y, z) definita su una regione solida E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

dà l'accumulazione totale di ff su EE. L'elemento infinitesimo di volume dVdV diventa dx dy dzdx\,dy\,dz in coordinate cartesiane, ma può essere riscritto a seconda della geometria di EE.

Significati fisici comuni:

  • Se f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, l'integrale dà il volume di EE.
  • Se f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) è una densità, dà la massa totale.
  • Momenti, baricentri e momenti d'inerzia sono tutti integrali tripli di funzioni di densità pesate.

La chiave per calcolare un integrale triplo è scegliere il sistema di coordinate giusto e impostare correttamente gli estremi.

Come impostare e calcolare gli integrali tripli

Passo 1: Scegli le coordinate

Geometria della regioneCoordinate miglioriElemento di volume
Scatola / generaleRettangolari (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
Simmetria cilindricaCilindriche (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
Simmetria sfericaSferiche (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Passo 2: Imposta gli estremi

Proietta la regione su un piano coordinato per determinare l'ordine di integrazione. Per un solido di tipo I delimitato superiormente da z=g2(x,y)z = g_2(x,y) e inferiormente da z=g1(x,y)z = g_1(x,y):

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

Passo 3: Calcola iterativamente

Integra prima il più interno, trattando le variabili esterne come costanti. Poi procedi verso l'esterno.

Coordinate cilindriche

Usa le sostituzioni x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

Il fattore aggiuntivo rr proviene dal determinante Jacobiano.

Coordinate sferiche

Usa x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Lo Jacobiano ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi è fondamentale — dimenticarlo è l'errore singolo più comune.

Errori comuni da evitare

  • Dimenticare lo Jacobiano: le cilindriche ottengono un fattore rr, le sferiche ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. Tralasciarlo dà una risposta sbagliata ogni volta.
  • Ordine errato degli estremi: gli estremi più interni possono dipendere dalle variabili esterne, ma gli estremi più esterni devono essere costanti. Invertirli genera un risultato senza senso.
  • Errori di segno con sin⁡φ\sin\varphi: in coordinate sferiche, φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (quindi sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). Usare φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] è sbagliato.
  • Mescolare le convenzioni: alcuni libri usano φ\varphi per l'angolo polare (dall'asse z), altri per l'angolo azimutale. Sii coerente con una convenzione.
  • Non disegnare la regione: per solidi non banali, un rapido disegno ti salva da estremi impossibili.

Examples

Step 1: Imposta l'integrale iterato: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: Integra rispetto a zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: Integra rispetto a yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: Integra rispetto a xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: In coordinate sferiche: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: Volume = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: Interno: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: Intermedio: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: Esterno: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: Prodotto: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: Passa alle coordinate cilindriche: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: Integrale = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: Interno: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: Intermedio: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: Esterno: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

Usa le cilindriche quando la regione ha simmetria di rotazione attorno all'asse z ma nessuna struttura radiale particolare (cilindri, paraboloidi, coni sopra/sotto un disco). Usa le sferiche quando la regione è delimitata da sfere, coni dall'origine, o ha piena simmetria radiale 3D (palle, gusci sferici).

Lo Jacobiano è il determinante che aggiusta l'elemento di volume quando si cambiano le coordinate. In coordinate cilindriche è uguale a r, in sferiche è uguale a ρ² sin φ. Senza di esso, l'integrale misura il volume sbagliato.

Osserva la regione: integra per prima (più interna) la variabile con estremi che dipendono dalle altre, poi procedi verso l'esterno. La variabile più esterna deve avere estremi costanti. Se un ordine porta a estremi complicati, scambia l'ordine usando un disegno della regione.

Sì, se l'integrando può essere negativo. Per i calcoli di volume l'integrando è 1 e la risposta è sempre positiva. Per quantità fisiche come flusso con segno o forza netta, valori negativi sono possibili e significativi.

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