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Calcolatrice di serie

Analizza la convergenza, calcola somme ed espandi serie di Taylor/Maclaurin con soluzioni passo passo

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∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

Che cos'è una serie?

Una serie è la somma dei termini di una successione. Una serie infinita assume la forma:

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

Le somme parziali sono SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n. Se la successione delle somme parziali converge a un limite finito SS, diciamo che la serie converge e ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S. Altrimenti, la serie diverge.

Serie geometrica: la serie ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n converge a a1−r\frac{a}{1-r} quando ∣r∣<1|r| < 1.

Serie p: la serie ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} converge quando p>1p > 1 e diverge quando p≤1p \leq 1.

Serie di potenze: una serie della forma ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n che rappresenta una funzione all'interno del suo raggio di convergenza.

Serie di Taylor: lo sviluppo in serie di potenze di f(x)f(x) attorno a x=ax = a:

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Quando a=0a = 0, si chiama serie di Maclaurin.

Come determinare la convergenza

Criterio di divergenza (criterio del termine n-esimo)

Se lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, la serie diverge. Nota: se il limite è 0, il criterio non è conclusivo.

Criterio del rapporto

Calcola L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:

  • Se L<1L < 1: converge assolutamente
  • Se L>1L > 1: diverge
  • Se L=1L = 1: non conclusivo

Criterio della radice

Calcola L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}. Stesse regole di conclusione del criterio del rapporto.

Criterio dell'integrale

Se f(n)=anf(n) = a_n dove ff è positiva, continua e decrescente per x≥1x \geq 1:
∑n=1∞an converge  ⟺  ∫1∞f(x) dx converge\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ converge}

Criterio del confronto

Se 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n per ogni nn:

  • Se ∑bn\sum b_n converge, allora ∑an\sum a_n converge
  • Se ∑an\sum a_n diverge, allora ∑bn\sum b_n diverge

Criterio delle serie alternate (criterio di Leibniz)

La serie alternata ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n converge se:

  1. bn>0b_n > 0 per ogni nn
  2. bnb_n è decrescente
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

Serie di Taylor/Maclaurin comuni

FunzioneSerie di MaclaurinRaggio
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

Scegliere il criterio giusto

CriterioMigliore perIndicatore chiave
DivergenzaEliminazione rapidaI termini chiaramente non tendono a 0
RapportoFattoriali, esponenzialin!n! o rnr^n nei termini
RadicePotenze n-esimean=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
IntegraleFunzioni decrescenti semplician=f(n)a_n = f(n) facilmente integrabile
ConfrontoTermini simili a serie noteSembra una serie p o geometrica
AlternateSerie a segni alterniFattore (−1)n(-1)^n

Errori comuni da evitare

  • Usare male il criterio di divergenza: se lim⁡an=0\lim a_n = 0, questo NON dimostra la convergenza. La serie armonica ∑1/n\sum 1/n diverge anche se 1/n→01/n \to 0.
  • Applicare il criterio del rapporto quando L = 1: quando il limite del rapporto è uguale a 1, il criterio non dà informazioni. Devi usare un criterio diverso.
  • Confondere convergenza assoluta e condizionata: una serie può convergere condizionatamente (come la serie armonica a segni alterni) senza convergere assolutamente.
  • Raggio di convergenza errato: non dimenticare di verificare gli estremi separatamente quando trovi l'intervallo di convergenza.
  • Resto della serie di Taylor: il polinomio di Taylor è solo un'approssimazione; per un numero finito di termini, c'è un termine di resto la cui maggiorazione conta per l'accuratezza.

Examples

Step 1: Applica il criterio del rapporto: an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1, quindi la serie converge
Step 3: Per trovare la somma, usa la formula ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} con x=12x = \frac{1}{2}: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: Parti dalla serie geometrica: 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n per ∣t∣<1|t| < 1
Step 2: Sostituisci t=−x2t = -x^2: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: Semplifica: ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots per ∣x∣<1|x| < 1
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, valida per ∣x∣<1|x| < 1

Step 1: È una serie alternata con bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}}
Step 2: Verifica: bn>0b_n > 0 ✓, bnb_n è decrescente ✓, lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: Per il criterio delle serie alternate, la serie converge (condizionatamente, poiché ∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}} diverge come serie p con p=1/2<1p = 1/2 < 1)
Answer: La serie converge condizionatamente

Frequently Asked Questions

Una serie converge se le sue somme parziali tendono a un numero finito man mano che si aggiungono più termini. Una serie diverge se le somme parziali crescono illimitatamente o oscillano senza stabilizzarsi su un valore.

Le serie di Taylor si usano per approssimare funzioni complicate con polinomi, rendendole più facili da calcolare, derivare o integrare. Sono fondamentali in fisica, ingegneria e analisi numerica per approssimare funzioni vicino a un punto specifico.

Il raggio di convergenza R è la distanza dal centro di una serie di potenze entro la quale la serie converge. Per |x - a| < R la serie converge assolutamente, per |x - a| > R diverge, e in |x - a| = R devi verificare gli estremi individualmente.

No. La serie armonica, che è la somma di 1/n da n=1 a infinito, diverge. Anche se i termini tendono a zero, non decrescono abbastanza velocemente perché la somma resti finita. È un esempio classico che mostra che i termini che tendono a zero sono necessari ma non sufficienti per la convergenza.

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