Calcolatrice della serie di Taylor

Una serie di Taylor rappresenta una funzione come un polinomio infinito costruito a partire dalle derivate della funzione in un singolo punto $a$:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Quando $a = 0$, la serie si chiama serie di Maclaurin:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

Perché è importante: le serie di Taylor convertono calcoli su funzioni potenzialmente difficili ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) in calcoli su polinomi, che computer e persone sanno gestire. Sono il fondamento dei metodi numerici, degli sviluppi asintotici e della teoria dell'approssimazione.

Il polinomio di Taylor di grado $n$ è la somma parziale che conserva i termini fino a $(x-a)^n$. È la migliore approssimazione polinomiale di $f$ vicino ad $a$ in un senso preciso (corrisponde al valore e alle prime $n$ derivate).

Passo 1: Calcola le derivate nel punto di sviluppo

Per $f(x)$ e punto di sviluppo $a$, calcola $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

Passo 2: Inserisci nella formula

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Serie di Maclaurin comuni da memorizzare

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

Raggio di convergenza

Una serie di Taylor converge solo entro un raggio di convergenza $R$ attorno ad $a$. Trovalo usando il criterio del rapporto:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

Fuori da questo raggio, la serie diverge e non rappresenta la funzione. All'interno, la convergenza è di solito uniforme sui sottoinsiemi compatti.

Manipolare serie note

Per rapidità, sostituisci, deriva o integra serie note invece di calcolare le derivate da zero:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (sostituisci $-x^2$ in $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• Dimenticare il fattoriale: l'$n$-esimo termine ha un $\frac{1}{n!}$, non solo la derivata. Tralasciarlo dà un risultato totalmente sbagliato.
• Usare la serie fuori dal suo raggio di convergenza: $\frac{1}{1-x}$ non è uguale a $\sum x^n$ quando $|x| > 1$ — lì la serie diverge.
• Dimenticare di centrare in $a$: una serie di Taylor attorno ad $a$ usa potenze di $(x-a)$, non $x$.
• Confondere grado e numero di termini: un polinomio di Taylor di grado $n$ ha $n+1$ termini (gradi da $0$ a $n$).
• Errori di segno nella sostituzione: $\sin(-x) = -\sin(x)$, quindi la serie di $\sin(-x)$ ha i segni alterni invertiti rispetto a $\sin(x)$.