Risolutore di sistemi di equazioni

Un sistema di equazioni (chiamato anche equazioni simultanee) è un insieme di due o più equazioni con le stesse variabili che devono essere tutte soddisfatte contemporaneamente. La soluzione è l'insieme di valori che rende vera ogni equazione simultaneamente.

Un sistema di due equazioni lineari in due incognite ha la forma:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Geometricamente, ogni equazione rappresenta una retta nel piano. La soluzione è il punto in cui le rette si intersecano.

Un sistema può avere:

• Una soluzione unica: le rette si intersecano in esattamente un punto (compatibile e indipendente).
• Nessuna soluzione: le rette sono parallele (incompatibile).
• Infinite soluzioni: le rette sono coincidenti (compatibile e dipendente).

I sistemi di equazioni compaiono in innumerevoli applicazioni: problemi di miscela, analisi di circuiti, equilibrio domanda-offerta, flusso di traffico e ottimizzazione. Sistemi più grandi con 3+ variabili emergono in ingegneria e data science.

1. Metodo di sostituzione

Risolvi un'equazione rispetto a una variabile, poi sostituisci nell'altra equazione.

Esempio: Risolvi $\begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$

1. Dall'equazione 1: $x = y + 1$
2. Sostituisci nell'equazione 2: $2(y + 1) + 3y = 7$
3. $2y + 2 + 3y = 7$ → $5y = 5$ → $y = 1$
4. Sostituisci a ritroso: $x = 1 + 1 = 2$

2. Metodo di riduzione

Somma o sottrai le equazioni per eliminare una variabile.

Esempio: Risolvi $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

1. Moltiplica l'equazione 2 per 3: $3x - 3y = 3$
2. Somma all'equazione 1: $5x = 10$ → $x = 2$
3. Sostituisci a ritroso: $2 - y = 1$ → $y = 1$

3. Metodo matriciale (eliminazione di Gauss)

Scrivi il sistema come matrice aumentata e riducila per righe:

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 7 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$

4. Regola di Cramer

Per un sistema $2 \times 2$, se $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

5. Grafico

Traccia ogni equazione e individua il punto di intersezione.

• Sostituzione errata: quando sostituisci un'espressione, sostituisci la variabile ovunque compaia e usa le parentesi.
• Moltiplicare solo parte di un'equazione: quando moltiplichi per eliminare, ogni termine (compresa la costante) deve essere moltiplicato.
• Perdere il controllo dei segni: presta particolare attenzione ai coefficienti negativi durante la riduzione.
• Dichiarare prematuramente nessuna soluzione: ottenere $0 = 0$ significa infinite soluzioni (sistema dipendente), non nessuna soluzione. Solo $0 = c$ (con $c \neq 0$) significa nessuna soluzione.
• Dimenticare di trovare tutte le variabili: dopo aver trovato una variabile, sostituisci sempre a ritroso per trovare le altre.