La serie di Taylor spiegata: approssimare qualsiasi funzione con i polinomi

Se le derivate catturano la pendenza di una funzione in un punto, le serie di Taylor catturano l'intera funzione in un punto — impilando un numero infinito di derivate. Sono il ponte tra l'analisi matematica e il calcolo numerico: ogni volta che la tua calcolatrice calcola $\sin(0.4)$, sta sommando una serie di Taylor dietro le quinte.

La formula della serie di Taylor

La serie di Taylor di una funzione $f$ centrata in $x = a$ è:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

Cioè: valuta $f$, $f'$, $f''$, $f'''$, … nel punto $a$, poi costruisci un polinomio il cui $n$-esimo termine è $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

Quando $a = 0$, la serie si chiama serie di Maclaurin — il caso più comune.

Perché funziona?

Attorno al punto $a$, una funzione assomiglia alla sua retta tangente (termine $n=1$), poi a una parabola che include la curvatura (termine $n=2$), poi a una cubica, e così via. Ogni derivata di ordine superiore cattura informazioni sulla forma sempre più dettagliate. Sommandone infinite, per le funzioni "buone" si recupera esattamente $f$.

Tre sviluppi di Maclaurin classici

Memorizza questi tre — compaiono di continuo:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

La serie dell'esponenziale ha tutte le potenze; il seno ha solo le potenze dispari; il coseno ha solo le potenze pari. Questa simmetria è una conseguenza diretta di quali derivate sono nulle in $0$.

Esempio svolto: costruire $\sin x$ da zero

Sia $f(x) = \sin x$. In $a = 0$:

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• Lo schema si ripete ogni 4 derivate.

Sostituisci nella formula di Taylor:
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
che si semplifica in $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$. Lo stesso della formula sopra.

L'approssimazione in pratica

Per $x$ piccolo vicino a 0, anche i primi termini sono estremamente accurati:

• $\sin(0.1) \approx 0.1 - 0.001/6 \approx 0.09983$ (valore vero: $0.0998334\dots$).

Ecco perché l'approssimazione per piccoli angoli $\sin x \approx x$ è valida: il termine successivo è minuscolo quando $x$ è piccolo.

Convergenza — quando è davvero uguale a $f$?

Le serie di Taylor hanno un raggio di convergenza $R$. Per $|x - a| < R$ la serie è uguale a $f(x)$; al di fuori, la serie diverge. Alcune funzioni ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$) hanno $R = \infty$. Altre, come $1/(1-x)$ centrata in 0, hanno $R = 1$.

Errori comuni

• Dimenticare i denominatori fattoriali $n!$.
• Confondere gli sviluppi in serie — il seno ha le dispari, il coseno le pari, $e^x$ tutte.
• Assumere la convergenza senza verificare il raggio.

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Link correlati:

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