Risolvere un sistema di equazioni significa trovare i valori che soddisfano tutte le equazioni contemporaneamente. Ciascuna delle tre tecniche standard ha il proprio ambito ideale: sapere quale scegliere fa risparmiare tempo in ogni serie di esercizi.

Metodo 1: Sostituzione

Ottimo quando una variabile è già isolata (o facile da isolare).

Procedura:

Risolvi una equazione rispetto a una variabile.
Sostituisci quell'espressione nell'altra equazione.
Risolvi l'equazione a una variabile risultante.
Sostituisci a ritroso per trovare la seconda variabile.

Esempio: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ è già isolata. Sostituisci nella seconda: $3x + (2x + 1) = 11$ , quindi $5x = 10$ , $x = 2$ .
Sostituzione a ritroso: $y = 2(2) + 1 = 5$ .
Soluzione: $(2, 5)$ .

Metodo 2: Eliminazione (combinazione lineare)

Ottimo quando i coefficienti si allineano per annullare una variabile sommando / sottraendo.

Procedura:

Moltiplica una o entrambe le equazioni per costanti in modo che i coefficienti di una variabile siano opposti (ad esempio $+3y$ e $-3y$ ).
Somma le equazioni per eliminare quella variabile.
Risolvi l'equazione a una variabile rimanente.
Sostituisci a ritroso.

Esempio: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ e $-3y$ sono già opposti. Somma: $6x = 18$ , $x = 3$ .
Sostituzione a ritroso: $2(3) + 3y = 12$ , $3y = 6$ , $y = 2$ .
Soluzione: $(3, 2)$ .

Metodo 3: Metodi matriciali

Per sistemi più grandi (3+ variabili) o per la risoluzione assistita dal computer:

Regola di Cramer: $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ dove $A_i$ è $A$ con la $i$ -esima colonna sostituita dai termini noti. Funziona per qualsiasi dimensione, ma il calcolo di $\det$ cresce rapidamente.
Eliminazione di Gauss: riduci per righe la matrice aumentata $[A | \vec{b}]$ alla forma a scalini, poi sostituisci a ritroso. È il metodo standard per i sistemi grandi.
Matrice inversa: $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ . Funziona solo se $A$ è quadrata e invertibile (determinante non nullo).

Per i sistemi 2×2 a mano, la sostituzione o l'eliminazione vincono quasi sempre. I metodi matriciali brillano con 3+ variabili.

Tre possibilità per l'insieme delle soluzioni

Ogni sistema lineare ha esattamente una di queste:

Un'unica soluzione: le rette (o i piani) si intersecano in un solo punto.
Nessuna soluzione: le equazioni si contraddicono (rette parallele che non si incontrano): il sistema è incompatibile.
Infinite soluzioni: le equazioni descrivono la stessa retta / piano: il sistema è dipendente.

Segnale algebrico:

" $x = 5$ " → unica.
" $0 = 7$ " → contraddizione → nessuna soluzione.
" $0 = 0$ " → tautologia → infinite soluzioni.

Errori comuni

Errori di segno nella distribuzione durante la sostituzione. Usa le parentesi con cura.
Dimenticare di moltiplicare entrambi i membri durante il riscalamento nell'eliminazione.
Fermarsi dopo aver trovato $x$ . Contano entrambe le variabili; sostituisci a ritroso.
Ignorare l'incompatibilità. Se ottieni $0 = 7$ , quella è la risposta ("nessuna soluzione"), non un errore di calcolo.

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