Test d'ipotesi passo dopo passo: da H0 al valore p

Il test d'ipotesi è il cavallo da tiro dell'inferenza statistica, usato ovunque, dalle sperimentazioni cliniche ai test A/B sui siti web. Eppure è anche l'argomento più frainteso della statistica. Questa guida percorre l'intero processo una volta — con chiarezza — così capisci cosa significa davvero un valore p.

I cinque passi

1. Enuncia $H_0$ e $H_1$: l'ipotesi nulla (lo status quo) e l'alternativa (l'affermazione che vuoi sostenere).
2. Scegli un livello di significatività $\alpha$: di solito 0,05 o 0,01.
3. Calcola la statistica test dai tuoi dati ($z$, $t$, $\chi^2$, ecc.).
4. Trova il valore p: la probabilità di osservare dati così estremi se $H_0$ fosse vera.
5. Decidi: se $p < \alpha$, rifiuta $H_0$; altrimenti non rifiutarla.

Nota: "non rifiutare" ≠ "accettare $H_0$". Semplicemente non hai abbastanza prove contro di essa.

Test z a un campione (esempio svolto)

Una fabbrica afferma che le sue lampadine durano in media 1000 ore ($\sigma = 50$). Provi 25 lampadine e misuri $\bar x = 980$. L'affermazione è confutata a $\alpha = 0,05$?

1. $H_0: \mu = 1000$, $H_1: \mu \ne 1000$.
2. $\alpha = 0,05$, a due code.
3. Statistica test: $z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{980 - 1000}{50/\sqrt{25}} = \frac{-20}{10} = -2$.
4. Valore p: $2 \cdot P(Z < -2) \approx 2 \cdot 0.0228 = 0.0456$.
5. Poiché $0.0456 < 0.05$, rifiuta $H_0$. La durata media è significativamente diversa da 1000 ore.

Scegliere il test giusto

Situazione	Test
Una media, $\sigma$ noto	test z a un campione
Una media, $\sigma$ ignoto, n piccolo	test t a un campione
Due medie, campioni indipendenti	test t a due campioni
Due medie appaiate	test t appaiato
Proporzione/i	test z per la proporzione
Bontà di adattamento / contingenza	chi-quadro

Errore di tipo I vs tipo II

• Tipo I: rifiutare una $H_0$ vera. Probabilità = $\alpha$.
• Tipo II: non rifiutare una $H_0$ falsa. Probabilità = $\beta$.
• Potenza = $1 - \beta$: probabilità di rilevare correttamente un effetto reale.

Questi tre si muovono insieme: ridurre $\alpha$ aumenta $\beta$ a dimensione campionaria fissa; aumentare la dimensione campionaria abbassa entrambi.

Errori comuni

• "valore p = probabilità che $H_0$ sia vera" — falso. Il valore p è $P(\text{dati} \mid H_0)$, non $P(H_0 \mid \text{dati})$.
• Confronti multipli — eseguire 20 test a $\alpha = 0,05$ garantisce in media ≈1 falso positivo. Usa una correzione.
• Confondere significatività e importanza — un effetto minuscolo con $n$ enorme può essere altamente significativo eppure praticamente irrilevante.

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Riferimenti correlati:

• Calcolatore di Punteggio Z — il mattone di ogni test z
• Calcolatore di Deviazione Standard — l'input di variabilità
• Calcolatore di Distribuzione Normale — ciò che i test z assumono